10 02 18 chegz popr, Szkoła, Matematyka, UW, chemia, Krych, Egzaminy i koła 2004-2012, Krych, matematyka dla wydz. ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Egzamin poprawkowy z matematyki dla studentow chemii, 18 lutego 2010, 10:05 – 13:05
Rozwia
,
zania roznych zadan maja
,
znalezc sie
,
na roznych kartkach, bo sprawdzac je be
,
da
,
rozne osoby.
Kazda kartka musi byc podpisana w LEWYM G ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej cwiczenia .
Nie wolno korzystac z kalkulatorow, telefonow komorkowych ani innych urza
,
dzen elek-
tronicznych; jesli ktos ma, musza
,
byc schowane i wyla
,
czone!
Nie dotyczy rozrusznikow
serca.
Nie wolno korzystac z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nalezy uzasadniac. Wolno i NALE-
ZY powolywac sie
,
na twierdzenia, ktore zostaly pojawily sie
,
na wykladzie lub na cwiczeniach.
1.
Zdefiniowac log
a
c
pamie
,
taja
,
c o zalozeniach o
a
i
c
.
Rozwia
,
zac rownanie log
3
(
x
2
+ 2) + log
3
(2
x
−
1) = 2 + log
3
x
.
2.
Podac definicje
,
tangensa dowolnego ka
,
ta, ktorego tangens mozna zdefiniowac.
Rozwia
,
zac rownanie
Zilustrowac jej rozwia
,
zanie na okre
,
gu
x
2
+
y
2
= 1 .
tg(7
t
) + tg(3
t
) = 0 .
Niech
f
(
x
) =
p
1 + cos
x
, wie
,
c
f
0
(
x
) =
−
sin
x
2
p
1+cos
x
,
f
00
(
x
) =
−
2 cos
x
+2 cos
2
x
+sin
2
x
3.
dla tych
x
,
4
p
1+cos
x
3
dla ktorych cos
x
6
=
−
1 .
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
f
maleje i te, na ktorych rosnie.
Znalezc te przedzialy, na ktorych funkcja
f
jest wypukla i te, na ktorych jest wkle
,
sla.
Obliczyc granice jednostronne pochodnej
f
0
funkcji
f
przy
x
−!
.
Obliczyc granice jednostronne drugiej pochodnej
f
00
funkcji
f
przy
x
−!
.
Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowac wykres funkcji
f
.
4.
Niech
A
= (1
,
1
,
2) ,
B
= (9
,
1
,
1) ,
C
= (1
,
3
,
1) ,
O
= (0
,
0
,
0) .
Znalezc obje
,
tosc czworoscianu
OABC
.
Znalezc jakikolwiek wektor
v
6
=
0
=
−−−−!
[0
,
0
,
0] prostopadly do plaszczyzny
ABC
.
Znalezc pole trojka
,
ta
ABC
.
Znalezc rownanie plaszczyzny
ABC
.
Znalezc kosinusy obu ka
,
tow utworzonych przez plaszczyzne
,
ABC
i plaszczyzne
,
o rownaniu
x
+
y
+
z
= 1 .
Niech
f
(
x
) =
xe
x
,
g
(
x
) =
x
3
e
x
. Wykresy funkcji
f
i
g
dziela
,
plaszczyzne
,
na kilka cze
,
sci. Dwie
z nich sa
,
ograniczone. Znalezc sume
,
ich pol.
5.
jest taka
,
liczba
,
, ze tg(arctg
x
) =
x
. Znalezc
trzeci wielomian Taylora funkcji arctg w punkcie
x
0
= 0 .
Wykazac, ze jesli
T
3
(
x
) oznacza wartosc trzeciego wielomianu funkcji arctg w punkcie 0 oraz
0
< x <
1 , to spelniona jest nierownosc
T
3
(
x
)
<
arctg
x < T
3
(
x
) +
x
5
Przypomnienie: dowolnego
x
, to arctg
x
2
−
2
,
2
6.
.
5
9
p
3
<
6
<
8
8
1
Korzystaja
,
c z uzyskanej nierownosci wykazac, ze
+
45
p
3
.
9
p
3
Informacje pozyteczne lub zbe
,
dne
: 5
2
= 25 , 6
2
= 36 , 7
2
= 49 , 8
2
= 64 , 9
2
= 81 , 10
2
= 100 ,
11
2
= 121 , 12
2
= 144 , 1
3
2
= 169 , 14
2
= 196 , 15
2
= 225 , 16
2
= 256 , 17
2
= 289 , 18
2
= 324 ,
sin
5
6
p
3
2
1
2
, cos
7
6
=
=
−
, tg 0 = 0 , 3
,
99999999999
<
2
·
2
<
4
,
0000000000001 .
[ Pobierz całość w formacie PDF ]