10 Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe, Materiały PWSZ Budownictwo, Budownictwo-do-segregacji
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
1
10.
10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego
Elementy konstrukcji znajdują się w
przestrzeni fizycznej
. Do opisu zjawisk w niej będzie stosowany
prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich przedstawiony na rysunku 10.1. Na potrzeby opisu zjawisk
zamiast tradycyjnego oznaczenia wprowadzono osie X
1
,
X
2
i X
3
. Położenie dowolnego punktu opisują trzy
współrzędne x
1
,
x
2
i x
3
, które można zapisać w zapisie wskaźnikowym
x
i
,
(10.1)
w którym i=1, 2, 3. Indeks i będzie zawsze przyjmował wartości od 1 do 3. Prawoskrętny układ oznacza, że
śruba prawoskrętna kręcąca się od osi X
1
do osi X
2
będzie się wkręcała w kierunku osi X
3
. Podobnie śruba
kręcąca się od osi X
2
do osi X
3
będzie się wkręcała w kierunku osi X
1
. Na koniec, jeżeli śruba będzie się
kręciła od osi X
3
do osi X
1
to będzie się wkręcała w kierunku osi X
2
. Przedstawia to rysunek 10.2.
Z=X
3
A
x
3
Y=X
2
O
x
2
Rys. 10.1. Prawoskrętny układ współrzędnych.
Z=X
3
Z=X
3
Z=X
3
Y=X
2
Y=X
2
Y=X
2
Obrót śruby prawoskrętnej
Rys. 10.2. Obrót śruby prawoskrętnej.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
2
W analizie konstrukcji często występującą wielkością jest wielkość wektorowa. Wielkością wektorową może
być siła lub przemieszczenie punktu konstrukcji. Rysunek 10.3 przedstawia przykładowy wektor
A
przyłożony w początku układu współrzędnych. Wektor jest taką wielkością, którą charakteryzuje moduł
wektora, kierunek i zwrot. Jak widać na rysunku 10.3 wektor został przedstawiony za pomocą trzech
współrzędnych wektora na trzy osie przyjętego układu współrzędnych. Wektor przedstawiony na rysunku 10.3
posiada wszystkie trzy współrzędne dodatnie.
Z=X
3
A
3
O
A
2
Y=X
2
Rys. 10.3. Składowe wektora A.
Trzy współrzędne wektora można zapisać w formie macierzy kolumnowej w postaci
[
A
1
A
2
A
3
]
,
(10.2)
lub w zapisie wskaźnikowym
A
i
,
(10.3)
w którym i=1, 2, 3.
Jeżeli dwa wektory
A
i
B
są równe to współrzędne wektorów spełniają warunek
A
i
=
B
i
.
(10.4)
Jeżeli pomnożymy wektor
A
przez skalar a, otrzymano wektor współosiowy
B
, który spełnia zależność
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
3
B=
a
⋅
A
.
(10.5)
Równanie (10.5) w zapisie wskaźnikowym będzie miało postać
B
i
=
a
⋅
A
i
.
(10.6)
Sumowanie dwóch wektorów
A
i
B
można wykonać sumując ich współrzędne. W wyniku otrzyma się
wektor
C
o współrzędnych
C
i
=
A
i
B
i
.
(10.7)
Wektor o module równym jeden nazywamy
wektorem jednostkowym
. Jeżeli kierunek i zwrot wektora
jednostkowego zgodne są z kierunkiem i zwrotem osi układu współrzędnych to wektor taki nazywamy
wersorem
. Wersory przedstawia rysunek 10.4.
Z=X
3
O
e
2
Y=X
2
Rys. 10.4. Wersory.
Dowolny wektor
A
można zapisać w postaci sumy
3
A=
A
1
⋅e
1
A
2
⋅e
2
A
3
⋅e
3
=
∑
i
=
1
.
A
i
⋅e
i
(10.8)
Dla skrócenia zapisu wzoru (10.8) wprowadzono
umowę sumacyjną Einstaina
. Umowa ta mówi, że jeżeli w
jednomianie występuje dwa razy ten sam wskaźnik, to oznacza to, że należy wykonać sumowanie względem
wszystkich możliwych wartości tego wskaźnika. Zgodnie z tą umową wzór (10.8) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
4
A=
A
i
⋅e
i
,
(10.9)
w którym powtarzający się wskaźnik i jest wskazówką, że należy wykonać sumowanie dla wartości i
zmieniających się od 1 do 3. Wskaźnik ten nazywa się
wskaźnikiem sumacyjnym
lub
niemym
, ponieważ
może być on zastąpiony każdym innym symbolem bez zmiany sensu zapisu. Pozostałe wskaźniki są
wskaźnikami żywymi
. Jeżeli jednak wyrażenia nie mają być sumowane to wskaźniki należy ująć w nawiasy.
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów
A
i
B
nazywamy skalar, który jest równy iloczynowi modułów
wektorów
A
i
B
oraz kosinusa kąta zawartego pomiędzy oboma wektorami.
A⋅
B=
∣
A
∣
⋅
∣
B
∣
⋅
cos
.
(10.10)
Szczególnym przypadkiem będzie skalarne mnożenie wersorów. W wyniku takiego mnożenia otrzymano
e
1
⋅e
1
=e
2
⋅e
2
=e
3
⋅e
3
=
1
(10.11)
oraz
e
1
⋅e
2
=e
2
⋅e
1
=e
1
⋅e
3
=e
3
⋅e
1
=e
2
⋅e
3
=e
3
⋅e
2
=
0
(10.12)
gdyż kąty zawarte między wersorami równe są 0 lub
/
2
. Wektor
A
można wyrazić
A=
A
1
⋅e
1
A
2
⋅e
2
A
3
⋅e
3
.
(10.13)
Wektor
B
można wyrazić
B=
B
1
⋅
e
1
B
2
⋅
e
2
B
3
⋅
e
3
.
(10.14)
Iloczyn skalarny można wyrazić za pomocą wzoru
A⋅
B=
A
1
⋅e
1
A
2
⋅e
2
A
3
⋅e
3
⋅
B
1
⋅e
1
B
2
⋅e
2
B
3
⋅e
3
.
(10.15)
Po wykonaniu mnożenia oraz uwzględnieniu (10.11) i (10.12) otrzymano
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
5
3
A⋅
B=
A
1
⋅
B
1
A
2
⋅
B
2
A
3
⋅
B
3
=
∑
i
=
1
A
i
⋅
B
i
=
A
i
⋅
B
i
.
(10.16)
Iloczyn skalarny jest działaniem przemiennym, wynik mnożenia skalarnego wektora
A
przez
B
oraz
wektora
B
przez wektor
A
będzie identyczny.
Wartość iloczynów skalarnych wersorów można zapisać w postaci
e
i
⋅e
j
=
ij
=
{
1 gdy i
=
j
0 gdy i
≠
j
.
(10.17)
Wartość d
ij
nazywamy
symbolem Kroneckera
. Symbol ten ma duże znaczenie w mechanice ciała stałego.
Jedno z ważnych zastosowań symbolu Kroneckera można przedstawić na przykładzie równania
A
i
=
ij
⋅
B
j
.
(10.18)
Wskaźnik j jest wskaźnikiem niemym i wzór (10.18) można przedstawić w postaci
A
i
=
i1
⋅
B
1
i2
⋅
B
2
i3
⋅
B
3
.
(10.19)
Wzór (10.19) można przedstawić w postaci
A
1
=
11
⋅
B
1
12
⋅
B
2
13
⋅
B
3
A
2
=
21
⋅
B
1
22
⋅
B
2
23
⋅
B
3
A
3
=
31
⋅
B
1
32
⋅
B
2
33
⋅
B
3
.
(10.20)
Uwzględniając wartości delty Kroneckera wzór (10.20) można zapisać
A
1
=
B
1
dla i
=
1
A
2
=
B
2
dla i
=
2
A
3
=
B
3
dla i
=
3
.
(10.21)
Ostatecznie wzór (10.18) można zapisać
A
i
=
ij
⋅
B
j
=
B
i
.
(10.22)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
[ Pobierz całość w formacie PDF ]