10.B Wykład OiSE, Wojskowa Akademia Techniczna (WAT), Obwody i Sygnały, Materiały 2013
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Operatorowe zależności między napięciem a prądem idealnych
elementów obwodu i ich modele operatorowe.
REZYSTOR
Przebiegi elektryczne napięcia i prądu rezystora o rezystancji
R
podle-
gają prawu Ohma
tu
=
(
)
R
i
(
t
)
Po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a i wykorzystaniu twierdzenia o
liniowości tego przekształcenia otrzymujemy
R
I(s)
U
(
s
)
=
R
I
(
s
)
(10.24)
U(s)
Wzór (10.24) wyraża
prawo Ohma w postaci operatorowej
. Wynika
z niego, że model operatorowy rezystora jest charakteryzowany jego rezy-
stancją
R
.
CEWKA
Opis w dziedzinie
czasu
Opis w dziedzinie
operatorowej
Model operatorowy
+
Li(0 )
+
sL
U
(
s
)
=
sLI
(
s
)
−
Li
(
0
)
I(s)
d
i
(
t
)
u
( =
t
L
dt
(10.25)
U(s)
I(s)
+
U
(
s
)
i
(
0
)
I
(
s
)
=
+
1
∫
sL
s
i(0 )
+
i
(
t
)
=
u
(
t
)
dt
sL
U(s)
L
s
(10.26)
- 1 -
KONDENSATOR
Opis w dziedzinie
czasu
Opis w dziedzinie
operatorowej
Model operatorowy
I(s)
+
I
(
s
)
=
sCU
(
s
)
−
Cu
(
0
)
d
u
(
t
)
i
( =
t
C
Cu(0 )
+
sC
U(s)
dt
(10.27)
u(0 )
+
1
+
I
(
s
)
u
(
0
)
s
sC
U
(
s
)
=
+
I(s)
1
∫
sC
s
u
(
t
)
=
i
(
t
)
dt
C
U(s)
(10.28)
IDEALNE ŹRÓDŁO NAPIĘCIA I PRĄDU
Idealne źródła napięcia i prądu w obwodzie elektrycznym charaktery-
zują napięcie źródłowe
u
0
(
t
) lub natężenie prądu źródłowego
i
Z
(
t
) - wielko-
ści niezależne od warunków pracy odpowiednich źródeł. W schemacie
operatorowym obwodu, źródła te są charakteryzowane transformatami:
napięcia źródłowego
[
natężenia prądu źródłowego
]
]
L
U
(
s
)
=
u
(
t
)
(10.29)
L
[
I
(
s
)
=
i
(
t
)
(10.30)
0
0
Z
Z
L
L
u(t)
U(s)
i(t)
I (s)
0
0
Z
Z
- 2 -
PRZYKŁAD 2
Rozpatrzmy gałąź pasywną zawierającą elementy
R
,
L
,
C
.
i(t)
R
I(s)
R
U(s)
R
u(t)
R
L
sL
U(s)
L
u(t)
u(t)
L
U(s)
U(s)
C
u(t)
+
Li(0)
C
L
1
+
u(0)
C
sC
s
U
(
s
)
=
U
(
s
)
+
U
(
s
)
+
U
(
s
)
R
L
C
+
1
u
(
0
)
+
C
U
(
s
)
=
R
I
(
s
)
+
sL
I
(
s
)
−
L
i
(
0
)
+
I
(
s
)
+
L
s
C
s
⎡
+
⎤
u
(
0
)
⎡
1
⎤
+
C
U
(
s
)
+
L
i
(
0
)
−
=
I
(
s
)
R
+
sL
+
⎣
⎦
⎣
⎦
L
s
s
C
+
+
⎡
⎤
⎡
⎤
u
(
0
)
u
(
0
)
+
+
C
C
U
(
s
)
+
L
i
(
0
)
−
U
(
s
)
+
L
i
(
0
)
−
⎣
⎦
⎣
⎦
L
L
s
s
I
(
s
)
=
=
=
1
Z
(
s
)
R
+
sL
+
s
C
⎡
+
⎤
u
(
0
)
+
C
=
Y
(
s
)
(
s
)
+
Y
(
s
)
L
i
(
0
)
−
⎣
⎦
L
s
1
gdzie:
Z
(
s
)
=
R
+
sL
+
impedancja operatorowa
s
C
Y
(
s
)
=
1
Z
(
s
)
admitancja operatorowa
- 3 -
10.5.4.
METODY WYZNACZANIA
ORYGINAŁU FUNKCJI OPERATOROWEJ
W celu wyznaczenia funkcji czasu na podstawie danej transformaty
najczęściej korzysta się z metod wynikających z własności przekształcenia
Laplace’a.
Metoda residuów
R(s)
r(t)
Metoda tablicowa
METODA RESIDUÓW
Funkcja operatorowa poszukiwanej odpowiedzi
R(s)
jest, dla obwo-
dów klasy SLS, kombinacją liniową operatorowej funkcji wymuszającej
X(s)
oraz parametrów obwodu, wyrażonych w konwencji operatorowej (
R
,
sL
,
1/sC
) a ponadto członów opisujących warunki początkowe {
Li
L
(0
+
),
u
C
(0
+
)/
s
}. Jeśli funkcja operatorowa wymuszenia jest funkcją wymierną
(dającą się wyrazić jako iloraz wielomianów zmiennej
s
), to i funkcja ope-
ratorowa odpowiedzi jest funkcją wymierną.
Powyższe rozumowanie prowadzi do stwierdzenia, że w ogólnym
przypadku funkcję operatorową możemy wyrazić jako iloraz dwóch wie-
lomianów zmiennej
s
n
n
−
1
K
a
s
+
a
s
+
+
a
s
+
a
L
(
s
)
n
n
−
1
1
0
(10.31)
R
(
s
)
=
=
m
m
−
1
M
(
s
)
b
s
+
b
s
+
K
+
b
s
+
b
m
m
−
1
1
0
Równanie algebraiczne:
L(s)
=0 posiada pierwiastki:
s
1
0
,
s
2
0
...
s
n
0
, które nazywamy
zerami
R(s)
M(s)
=0 posiada pierwiastki:
s
1
,
s
2
...
s
m
, które nazywamy
biegunami
R(s)
- 4 -
Jeśli znamy zera i bieguny funkcji
R(s),
to równanie (10.31) możemy
przedstawić w postaci
n
∏
0
(
s
−
s
)
i
a
n
i
=
1
R
(
s
)
=
⋅
(10.32)
m
b
m
∏
(
s
−
s
)
k
k
=
1
Z zapisu (10.32) wynika jednoznacznie, że zera i bieguny funkcji
R(s)
nie mogą się pokrywać. Przyjmujemy ponadto, że
n
<
m
(stopień licznika
jest mniejszy niż mianownika).
Przy spełnieniu ww. warunków odwrotne przekształcenie Laplace’a
możemy przedstawić w postaci
m
⎧
⎫
[
]
⎨
⎬
∑
=
[
]
L
1
s
t
r
(
t
)
=
R
(
s
)
=
res
R
(
s
)
e
⋅
1
t
)
(10.33)
⎩
⎭
s
=
s
k
k
1
to znaczy, że oryginał poszukiwanej funkcji
r(t)
jest równy sumie residu-
ów funkcji podcałkowej (10.14) we wszystkich biegunach
s
k
operatorowej
funkcji odpowiedzi
R(s).
UWAGA:
Jeśli w wyrażeniu (10.32), w jego mianowniku wystąpią ele-
menty postaci
s
p
lub (
s
-
s
k
)
p
- oznacza to, że w punkcie 0 lub
s
k
występuje biegun
p
-krotny.
- 5 -
[ Pobierz całość w formacie PDF ]