10. calka nieoz, Politechnika Gdańska, Budownictwo, Semestr I, Matematyka I, Wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Całkanieoznaczona
Zało»my, »e funkcja
f
jest funkcj¡ rzeczywist¡ okre±lon¡
Definicja
na pewnym przedziale. Ka»d¡ funkcj¦
F
, która spełnia w tym
przedziale warunek
F
0
(
x
)
=
f
(
x
)
,
nazywamy
funkcj¡pierwotn¡
do funkcji
f
.
Przykład
Wyznacz funkcj¦ pierwotn¡ do funkcji
f
(
x
) = cos
x.
Ile ró»nych funkcji pierwotnych do funkcji
f
potrafisz wskaza¢?
2
Fakt
Je»eli
F
jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
w pewnym przedziale,
to dla dowolnej stałej
C
2
R
funkcja
F
+
C
jest funkcj¡
pierwotn¡ funkcji
f
.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji
f
, okre±lonej w
=
F
+
C
, gdzie
pewnym przedziale, jest zło»ony z funkcji
C
2
R
a
F
jest jak¡kolwiek funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
.
3
Definicja
(Całkinieoznaczonej)
Je»eli
F
jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
w pewnym przedziale, to
zbiór wszystkich funkcji pierotnych nazywamy
całk¡nieoznaczon¡
funkcji
f
i oznaczamy symbolem
Z
f
(
x
)
dx.
Zatem
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
) +
C ,
gdzie
C
2
R
a
F
jest jak¡kolwiek funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
f
.
Funkcj¦
f
nazywamy
funkcj¡podcałkow¡
, a
f
(
x
)
dx
wyra»eniem
podcałkowym
.
Twierdzenie
Ka»da funkcja ci¡gła w pewnym przedziałe jest
całkowalna w tym przedziale (istnieje całka nieoznaczona tej funkcji).
4
Własno±ciCałkinieoznaczonej
Załó»my, »e funkcje
f
i
g
s¡ ci¡głe w pewnym przedziale.
Wówczas
0
0
@
1
A
Z
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
,
f
0
(
x
)
dx
=
f
(
x
) +
C ,
Z
Z
a
·
f
(
x
)
dx
=
a
·
Z
f
(
x
)
dx ,
a
2
R
,
!
Z
Z
Z
f
(
x
) +
g
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
+
g
(
x
)
dx.
5
Całkinieoznaczonepodstawowychfunkcjielementarnych
Z
0
dx
=
C
Z
a dx
=
ax
+
C
x
dx
=
x
+1
Z
+ 1
+
C
6
=
−
1
Z
1
x
dx
= ln
|
x
|
+
C
e
x
dx
=
e
x
+
C
Z
a
x
a
x
dx
=
Z
ln
a
+
C
[ Pobierz całość w formacie PDF ]