10.Formy dwuliniowe i kwadratowe, Matematyka studia, Algebra liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozdzial 10
Formy dwuliniowe i
kwadratowe
10.1 Formy dwuliniowe
10.1.1 Denicja i przyklady
NiechX
jK
b edzie przestrzeni a liniow a nad cialem K, dim(X
jK
) = n.
Denicja 10.1 Przeksztalcenie ' :XX!K nazywamy form a dwuli-
niow a na przestrzeniX
jK
jesli
(i)8x;y
1
;y
2
2X,8
1
;
2
2K
'(x;y
1
1
+ y
2
2
) = '(x;y
1
)
1
+ '(x;y
2
)
2
(liniowosc ze wzgl edu na drug a zmienn a),
(ii)8x;y2X'(x;y) = '(y;x) (forma zwykla)
albo
8x;y2X'(x;y) = '(y;x) (forma hermitowska).
Oczywiscie, o formach hermitowskich mozemy mowic tylko wtedy gdy
KC. Dalej, dla uproszczenia, b edziemy rozpatrywac jedynie formy her-
mitowskie.
91
92
ROZDZIAL 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE
Zauwazmy, ze8x
1
;x
2
;y2X,8
1
;
2
2K,
'(x
1
1
+ x
2
2
;y) = '(y;x
1
1
+ x
2
2
)
= '(y;x
1
)
1
+ '(y;x
2
)
2
= '(x
1
;y)
1
+ '(x
2
;y)
2
:
Dosc oczywistym jest fakt, ze zbior wszystkich form dwuliniowych naX
jK
jest przestrzeni a liniow a nad R (ale nie nad C!) z naturalnymi dzialaniami:
(')(x;y) := '(x;y);
('
1
+ '
2
)(x;y) := '
1
(x;y) + '(x;y):
Przykladami form dwuliniowych naX
jK
= K
n
jK
(KC) s a:
X
n
'(x;y) =
x
i
y
i
i
; gdzie
i
2R; 1in;
i=1
'(x;y) = x
H
Ay; gdzie A2K
n;n
; A = A
H
;
a naP
n
jR
:
X
'(p;q) =
p
(i)
(t
i
)q
(i)
(t
i
)
i
;
i
2R; 1in;
i=0
1
'(p;q) =
p(t)q(t)(t) dt; : R!R:
0
10.1.2 Macierz formy dwuliniowej
Dalej wygodnie nam b edzie rozszerzyc dzialanie danej formy dwuliniowej
' :XX!K na ' :X
1;s
X
1;t
!K
s;t
w nast epuj acy sposob. Niech
A = [x
1
;:::;x
s
] i B = [y
1
;:::;y
t
]. Wtedy
'(A; B) := ('(x
i
;y
j
))
i;j
2K
s;t
:
W szczegolnosci, macierz '(A; A) = ('(x
i
;x
j
))
i;j
jest kwadratowa i hermi-
towska, '(A; A)2Herm
n;n
. Mamy tez
8'82R (')(A; B) = '(A; B);
8'; (' + )(A; B) = '(A; B) + (A; B):
n1
Z
10.1. FORMY DWULINIOWE
93
Pozyteczne b ed a tez nast epuj ace wzory rachunkowe:
8b2K
t
'(A; B
b) = '(A; B)b;
8a2K
s
'(A
a; B) = a
H
'(A; B):
Rzeczywiscie,
X
t
X
b) = '
'(A;y
j
)
j
= '(A; B)b;
'(A; B
A;
y
j
j
=
j=1
j=1
gdzie b = [
1
;:::;
t
]
T
, oraz
'(A
a; B) = ('(B; A
a))
H
= a
H
('(B; A))
H
= a
H
'(A; B):
Uogolniaj ac te wzory mamy
8B2K
t;r
'(A; B
B) = '(A; B)B;
8A2K
s;r
'(A
A; B) = A
H
'(A; B):
Mamy bowiem
'(A; B
B) = '(A; [B
b
1
;:::; B
b
r
])
b
r
)]
= ['(A; B)b
1
;:::;'(A; B)b
r
]
= '(A; B)B;
b
1
);:::;'(A; B
B = [b
1
;:::;b
r
], oraz
'(A
A; B) = ('(B; A
A))
H
= ('(B; A)A)
H
= A
H
('(B; A))
H
= A
H
'(A; B):
Denicja 10.2 Niech A = [x
1
;:::;x
n
] b edzie baz aX, a ' :XX!K
form a dwuliniow a naX. Macierz hermitowsk a
A
:= '(A; A) = ('(x
i
;x
j
))
i;j=1
nazywamy macierz a formy ' w bazie A.
t
= ['(A; B
94
ROZDZIAL 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE
A
a i y = A
Znaczenie macierzy formy wynika z nast epuj acej rownosci. Niech x =
b. Wtedy
'(x;y) = '(A
a; A
b) = a
H
'(A; A)b
= a
H
A
b = (A
1
x)
H
A
(A
1
y):
Przy ustalonej bazie A, kazdej formie hemitowskiej ' :XX!K
mozna przyporz adkowac jej macierz
A
= '(A; A), ktora jest hermitowska.
Ale tez odwrotnie, kazda macierz hermitowska deniuje form e hermitowsk a
zgodnie ze wzorem '(x;y) = (A
1
x)
H
(A
1
y). Mamy przy tym, ze
jesli = ' + to
A
=
A
+
A
oraz jesli = ', 2R, to
A
=
A
.
St ad przestrzen wszystkich form hermitowskich nad R jest izomorczna z
przestrzeni a macierzy hetrmitowskich nad R, a jej wymiar wynosi n
2
.
10.2 Twierdzenie Sylwester'a
Denicja 10.3 Powiemy, ze macierz A2K
n;n
przystaje do macierzy B2
K
n;n
gdy istnieje macierz nieosobliwa C2K
n;n
taka, ze
B = C
H
AC:
Niech A i B b ed a dwiema bazamiX
jK
. Niech C = A
1
B
2K
n;n
tak, ze
B = A
C:
Jesli
A
jest macierz a danej formy ' :XX!K w bazie A to macierz '
w bazie B mozna wyrazic wzorem
B
C)
= C
H
'(A; A)C = C
H
A
C; A
C:
St ad, w klasie macierzy hermitowskich Herm
n;n
macierz A przystaje do B
gdy obie s a macierzami tej samej formy (ale byc moze w roznych bazach).
Relacja przystawania macierzy jest zwrotna (bo A = I
H
AI), syme-
tryczna (bo jesli B = C
H
AC to A = (C
1
)
H
BC
1
) oraz przechodnia (bo
jesli A
2
= C
1
A
1
C
1
i A
3
= C
2
A
2
C
2
to A
3
= (C
1
C
2
)
H
A
1
(C
1
C
2
)).
Jest to wi ec relacja rownowaznosci. A jesli tak, to zbior wszystkich macierzy
hermitowskich mozna przedstawic jako rozl aczn a sum e macierzy do siebie
= '(B; B) = '(A
10.3. FORMY KWADRATOWE
95
wzajemnie przystaj acych (klas abstrakcji relacji przystawania, albo jeszcze
inaczej, macierzy tej samej formy, ale w roznych bazach).
Ile jest klas abstrakcji relacji przystawania w klasie macierzy hermitow-
skich? Odpowiedz daje nat epuj ace twierdzenie, ktore podajemy bez dowodu.
Twierdzenie 10.1 (Sylwester'a)
Dla dowolnej macierzy hermitowskiej A = A
H
2K
n;n
istnieje macierz nie-
osobliwa C2K
n;n
taka, ze
C
H
AC = diag(I
;I
; 0
);
gdzie wymiary ;; ( + + = n) s a wyznaczone jednoznacznie.
St ad klas abstrakcji relacji przystawania jest tyle ile macierzy diagonal-
nych z elementami na diagonali kolejno 1;1; 0, czyli
n
X
(n + 1)(n + 2)
2
(k + 1) =
:
k=0
Z twierdzenia Sylwester'a wynika rowniez nast epuj acy wazny wniosek.
Wniosek 10.1 Dla dowolnej formy dwuliniowej ' :XX!K istnieje
baza A wX, w ktorej forma ma postac
'(x;y) =
X
a
k
b
k
+
X
a
k
b
k
;
k=1
k=+1
gdzie x = A
a, y = A
b.
10.3 Formy kwadratowe
10.3.1 Okreslonosc formy kwadratowej
Kazdej formie dwuliniowej ' :XX!K odpowiada forma kwadratowa
h :X!R zdeniowana wzorem
h(x) = '(x;x) x2X:
Jesli dla wszystkich x 6= 0 mamy h(x) = '(x;x) > 0 to form e kwadratow a h
(i odpowiednio form e dwuliniow a ') nazywamy dodatnio okreslon a i piszemy
h > 0 (odpowiednio ' > 0). Podobnie, forma h jest okreslona
[ Pobierz całość w formacie PDF ]