10. geometria analityczna, Automatyka i Robotyka, Semestr I, Algebra, Zadania na ćwiczenia

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Algebra, AiR, AEiIRSł, XII 2013Geometria analityczna−→Zad.1. Wyznaczyć współrzędne wektoraABoraz obliczyć jego długość.(a)A= (1, 2, 3),B= (−1,−3, −2)(b)A= (−1, 0, 1),B= (2, 4, 2)(c)A= (2,−1,7),B= (−3,−2,3)(d)A= (7,−8,9),B= (−4, 3,−2)(e)A= (−1, 2,−3),B= (2,−2, −3)(f)A= (7, 6,−5),B= (11, 4,−9)−→Zad.2. Dany jest początek oraz wpółrzędne wektoraAB.Znaleźć współrzędne końca tegowektora.−→(a)A= (1, 2, 3),AB= [3,−2,1]−→(b)A= (7, 6,−1),AB= [4, 5, 6]−→(c)A= (2, 1, 2),AB= [−1,−2, −1]−→(d)A= (2π−1,π+ 2, 1−2π),AB= [1−π,−π,2π]−→Zad.3. Dany jest koniec oraz wpółrzędne wektoraAB.Znaleźć współrzędne początku tegowektora.−→−→(a)B= (4, 7, 5),AB= [2, 5, 2](c)B= (2,−6, −8),AB= [−4, 6, 10]−→−→1212(b)B= (−1, 10,−2),AB= [−4, 4,−4](d)B= (π−1, 2,π+ 1),AB= [π,−2, −π]Zad.4. Dane są wektorya= [2, 7,−1]ib= [3,−2,2].Obliczyć:(a)2a−3b,(b)a+ 4b,(c)1a2+ 11b,2(d)|a| ·b+|b| ·a,(e)|a|2·a− |b|2·b.Zad.5. PunktyA, B, C, Dsą wierzchołkami równoległoboku. Znaleźć współrzędne wierz-chołkaD.(a)A(4,5, 6),B(2,7, 1),C(3,6, 2)(b)A(−1,4, 2),B(1,5, 3),C(4,1,−1)−→Zad.6. Dane są punktyA= (2, 0,−3)iB= (16,−7,18).Znaleźć punktCtaki, że3AC=−−→4CB.−→−→Zad.7. Dane są punktyA= (12, 4,−5)iB= (14, 2, 5).Znaleźć punktCtaki, że5AB+ 2ACjest wektorem zerowym.Zad.8. Znaleźć wersory poniższych wektorów.1Algebra, AiR, AEiIRSł, XII 2013(a)[3, 0,−4](b)[−1, 2, 2](c)[4, 1,−1](d)[4, 5,−2]Zad.9. Wyznaczyć cosinusy kierunkowe poniższych wektorów.(a)[−2, 0, 1](b)[4, 2,−4](c)[5, 8,−1](d)[1, 1,−5]Zad.10. Dla podanych wektorówa, bobliczyć ich iloczyn skalarny i wektorowy.√√(a)a= [2,−1,10],b= [−4, 2, 1](c)a= [ 2,−1,1],b= [−2 2, 2,−3](b)a= [4,−4, −1],b= [5,−6, −1](d)a= [π, 2,−1],b= [1,−1,π]Zad.11. Dla podanych wektorówa, b, c,obliczyć ich iloczyn mieszany.(a)a= [1, 1, 2],b= [1, 2, 1],c= [2, 1, 1](b)a= [3, 4, 5],b= [−4, 5, 1],c= [5,−1,3](c)a= [−1,−1,7],b= [3, 3,−4],c= [4, 5, 1](d)a= [0,−2,3],b= [5, 3,−1],c= [−7,−1, −4]Zad.12. Obliczyć(abc),|b×c|,oraz|2a −b+ 3c−2j +k|dla podanych wektorów.(a)a= [2, 4, 1],b= 2i−j,c=j−k(b)a= [2, 0,−1],b= [−1, 2, 1],c= 3a + 4b−6j(c)a= [1, 0,−2],b=−2i+j+k,c= (b−a)×[1, 0, 1]Zad.13. Obliczyć(abc), a×c,|3a −b+c|dla podanych wektorów.(a)a= [2, 3,−3],b= [2, 5, 1],c= 4i + 2j−k1(b)a= [−1, 2, 3],b= [2, 5, 6],c=3a×b−a1(c)a= [2, 5,−1],b=−i+j+ 2k,c=3(2a−b)×(a +b)−[10,−4,5]Zad.14. Niecha= [2, 5, 1],b= [7,−7,1],c= [0, 5,−1],d= [4,−2, −1].Obliczyć:(a)a×b+c×d,(b)c×(d×a)+b,Zad.15. Znaleźć kąt między wektoramia, b.(a)a= [−1,−1,0],b= [0,−1,0](b)a= [3,−2,13],b=−5i −j+k(c)a= [5,−1, −2],b= 2a−[4,−2, −1](d)a= [4,−1,2],b=a−[2, 0, 3](c)(b×c)·d−(c×d)·a,(d)(a×c+c×d)·b−d·c.Zad.16. Dla jakich wartości parametruppodane wektory są prostopadłe?(a)a= [2p−1, 1, 3],b= [−1, 2, 5](b)a= [1, 1−3p, 2],b= [p, 4, 2p](c)a= [p−1, 2, 6],b= [2p, 4−p,1](e)a= [p2,2, 1−2p],b= [p + 1, 1−p,2p]2(d)a= [p2,−p,2],b= [p−1,p, p−2]Algebra, AiR, AEiIRSł, XII 2013(f)a= [2p−1,p2−3p, 18−p], b= [−9,p2+ 3p,p]Zad.17. Dla jakiej wartości parametrupkąt między wektoramia= [2,p,−1]ib= [−3, 1,−2]wynosiπ?3Zad.18. Znaleźć współrzędne wektora (wektorów)w,jeśli wiadomo, że jest on prostopadły do√a= [3,−1,5]ib= [2, 2, 5]oraz jego długość wynosi314.Zad.19. Znaleźć współrzędne wektora (wektorów), który jest prostopadły do wektorówa=√[−3, 2, 2]ib= [1, 0,−4]oraz jego długość wynosi42.Zad.20. Sprawdzić czy puktyA, B, C, Dleżą w jednej płaszczyźnie.(a)A= (1, 7,−1),B= (4, 2,−3),C= (2, 2, 0),D= (1, 0, 1)2(b)A= (0, 1, 1),B= (3,2, 1),C= (−2, 3, 3),D= (−5, 1, 4)(c)A= (11, 0, 1),B= (1, 1,−11),C= (−1,−1,0),D= (0, 1, 1)(d)A= (−7, 2, 1),B= (−7, 6,−1),C= (−5,−4,5),D= (3, 10, 2)Zad.21. Dane są wierzchołki trójkątaABC.Obliczyć jego pole oraz długość wysokości popro-wadzonej z wierzchołkaC.(a)A= (4, 5, 6),B= (−1, 2, 3),C= (−2, 3, 3)(b)A= (−1,−4,2),B= (5, 1, 6),C= (8, 2, 7)(c)A= (−3,−5,1),B= (−1, 2, 5),C= (−2,−1,4)Zad.22. Obliczyć objętość czworościanuABCDoraz długość jego wysokości poprowadzonej zwierzchołkaD.(a)A= (6, 5, 4),B= (3, 2,−1),C= (3, 3,−2),D= (8, 1, 1)(b)A= (4,−2,7),B= (5, 2, 9),C= (5, 0, 9),D= (7,−5,4)(c)A= (1, 2, 3),B= (3, 4, 2),C= (−2, 3, 2),D= (4, 3, 7)Zad.23. Znaleźć długość dowolnej wysokości czworościanu, zbudowanego na wektoracha, b, c.(a)a= [2, 4, 1],b= [5, 2, 2],c= [3, 3, 1](b)a= [2,−1,1],b= [1, 0, 2],c= [0, 1, 1](c)a= [1, 0, 1],b= [−1, 1, 3],c= [2,−3,0]Zad.24. Dane są wektorya= [3, 6, 1],b= 2i−k.Obliczyć objętość równoległościanu zbudo-wanego na wektorachp, q, r.(a)p= 2a +k,q=b−2a,r= 3a +b+ 2i−j(b)p=a−4j +k,q=a−b+i,r= (4− |b|2)·b(c)p=√1|(a−5j−i)×(b+j)|b+3j,10q= (4j−a)×b−k, r=b×(b−a)+[2,−3,8]Zad.25. Dane są punktyA= (1, 1, 6),B= (−2, 1, 3),C= (0,−2,1).PunktDleży na osiOX.Znaleźć współrzędne punktuD,jeśli wiadomo, że objętość czworościanuABCDwynosi 6.3Algebra, AiR, AEiIRSł, XII 2013Zad.26. Dane są punktyA= (2, 1, 2),B= (3,−2,1),C= (5, 0, 1),D= (p, 2p, 1−3p).Wiadomo, że objętość równoległościanuABCDwynosi 10. Znaleźć wartość parametrup.Zad.27. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punktAi prostopadłej do wektoran.(a)A= (3, 2, 1),n= [4, 5, 6](b)A= (−4, 3, 6),n= [5, 1,−1](c)A= (5, 5,−2),n= [−1, 2, 4](d)A= (3,−4,0),n= [4, 3, 1]Zad.28. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punktAi równoległej do płasz-czyznyπ.(a)A(2,−3,1),π: 2x−3y +z= 0(b)A(1,2, 4),π: 4x−y−2z + 1 = 0Zad.29. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punktyA, BiC.(a)A= (1, 3, 1),B= (3, 1, 1),C= (−3, 3, 1)(b)A= (1, 0,−1),B= (−2,−6,1),C= (3, 17, 2)(c)A= (−6, 1, 2),B= (3, 2,−1),C= (4, 3, 4)(d)A= (0, 0, 1),B= (1, 2, 0),C= (0,−5,0)(e)A= (1,−2,1),B= (3, 0, 3),C= (−1,−4, −1)(f)A= (−2,−3, −4),B= (1, 3, 2),C= (2, 5, 4)Zad.30. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punktyA(0,2, 1),B(2,6,−3)irównoległej do wektorav= [1, 1,−3].Zad.31. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punktyA(−3,1, 1),B(−8,2, 0)irównoległej do prostejx+1=y−2=z−1.31Zad.32. Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej punktyA(1,0, 0),B(0,0, 1),która z płasz-czyznąπ:x+y−z+ 10 = 0tworzy kątπ.3Zad.33. Dla jakiej wartości parametruppłaszczyznyπ1:π2:x+py−z+ 4 = 0są(a) prostopadłe,px+ 2y + (p−1)z + 3 = 0i(b) równoległe?Zad.34. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punktAi równoległej do wektorav.(a)A= (2, 0, 5),v= [4,−1,0](b)A= (−4, 3, 3),v= [1, 1,−2](c)A= (5, 0, 4),v= [−1, 2, 3](d)A= (−1, 1, 0),v= [5, 6,−4]Zad.35. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punktyAiB.4Algebra, AiR, AEiIRSł, XII 2013(a)A= (3, 3, 1),B= (2, 1, 2)(b)A= (4, 4, 5),B= (−1, 0, 2)Zad.36. W jakich punktach prostal:rzędnych?x+23(c)A= (−5, 4, 4),B= (−4, 3, 4)(d)A= (6, 1,−5),B= (−5, 3, 2)=y−32=z−61przebija płaszczyzny układu współ-Uwaga:We wszystkich poniższych zadaniach, jeśli prosta ma postać parametrycznąx=αt+xy=βt+yz=γt+z,dla uproszczenia notacji, nie będziemy za każdym razem pisać, żet∈R.Zad.37. Napisać równanie płaszczyzny zawierającej punktAoraz prostąl:x= 5t−1(c)A= (4,−11,5),l:x−2=z−6=1−y,347(a)A= (4,−3,3),l:y=−t+ 6(d)A= (−4, 0, 5),l:x+1=−y+4=z+3,324z= 2t + 3,x+y−z=0(e)A= (5, 0, 2),l:2x + 2y + 3 = 0,x=−2t+ 1x+y−z+3=0(b)A= (4, 3,−3),l:y= 5t−6(f)A= (5, 2, 8),l:4x−y−z+ 9 = 0.z=t−3,Zad.38. Znaleźć punkt wspólny (ew. punkty wspólne lub sprawdzić, że ich nie ma) płaszczyznyπi prostejl.(a)π: 2x +z−1 = 0,l:x−y=0x+y+z−1=0(b)π:x+ 2y +z−5 = 0,l:2x + 5y + 3z−29 = 0x+y+ 3z + 9 = 0x=−t+ 3(c)π: 4x−y−z−2 = 0,l:y= 2t−2z=−3t+ 1x= 8(d)π:x−6y−z+ 3 = 0,l:y= 7t−6z= 8t + 7(e)π: 2x−4y + 3z + 5 = 0,l:(f)π: 4x−3y + 2 = 0,l:x−2=y−4=z−5432x+4=y−6=z+334−15 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • marucha.opx.pl