10. Pochodna funkcji jednej zmiennej, Zarządzanie i inżynieria produkcji KOLOKWIA, WYKŁADY, SKRYPTY, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->WYKŁAD XPochodna funkcji jednej zmiennejDefinicja:Pochodną funkcjiy=f(x)nazywamy granicęilorazuprzyrostu wartości funkcjidoprzyrostu argumentuw postaci:∆ff(x+ ∆x)−f(x)f′(x)=lim=lim∆x→∆x∆x→∆x(*)gdzie:∆xjest przyrostem argumentu,∆f=f(x+∆x)-f(x)jest przyrostem wartości funkcji,odpowiadającej przyrostowi argumentu .Pochodną dowolnej funkcji mo na obliczyć z definicjipodanej we wzorze (*). Poka emy to na poni szymprzykładzie.1Przykład 1Obliczyć pochodną funkcjif(x)=2x−3x+52Rozwiązanie:Aby obliczyć pochodną z definicji obliczymyf(x+ ∆x)Zatemf(x+ ∆x)=2(x+ ∆x)−3(x+ ∆x)+5=2x+4x∆x+2(∆x)−3x−3∆x+5222Po wstawieniu do (*) otrzymujemy:[2xf′(x)=lim∆x→2+4x∆x+2(∆x)−3x−3∆x+5−2x2−3x+5=∆x2]()∆x(4x+2∆x−3)=lim=4x−3∆x→∆x2Podstawowe wzoryNajwa niejsze wzory na obliczanie pochodnych:14.(lnx)=xdla x>0′′5.(sinx)=cosx;(cosx)= −sinx1−x1−x11′′7.(arctgx)=;(arcctgx)= −221+x1+x2( )=nx′2.(x)=rx′3.(e)=e1.xnr′n−1dla dowolnej liczby naturalnejndla dowolnej liczby rzeczywistejrr−1xx(pochodnaexjest tą samą funkcją)′6.(arcsinx)=′1;(arccosx)′=−123Przykład 2.Ad 1)x( )=4x4′3(x)=2x2′(x)=x′−1=14−4′−5xAd 2)4=( )= −4x= −5xx′( )3′′ 2−1223x=x=x=3 33x 231x′=x1−23−=−1x2=223x x′4Własności pochodnychDo obliczaniapochodnych funkcjioprócz wzorów 1-5,wykorzystujemy pewne własności, które mo na zapisać wpostaci:′a)c⋅f x=cf′x, gdziecoznacza dowolną stałą[( )]( )Własność ta pozwala wyłączyć stałą przed pochodną funkcji.b)[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)′′Pochodna sumy bądźró nicy dwóch funkcji jest sumą (ró nicą) pochodnych tych funkcji.c)[f(x)⋅g(x)]=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest sumą iloczynów pochodnejjednej funkcji przez drugą funkcję.5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]