10. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów (2), Różne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
przestrzeń unormowana nad
K,
X
K
n
,
Y
,
U
K
Top
n
,
f
:
0
U
U
Y
,
x
.
Definicja
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu
pierwszego
2
f
n
f
x
:
x
,
gdzie
k
,
j
1
,...,
x
x
0
x
x
0
j
k
j
k
(liczymy pochodne zgodnie z kierunkiem składania).
Zakładamy, że określiliśmy pochodne cząstkowe rzędu
k–
1 -szego. Wtedy definiujemy
pochodne
cząstkowe rzędu
k
-tego
:
k
f
}
k
1
f
x
:
x
,
gdzie
i
,
i
,...,
i
{
,...,
n
x
...
x
0
x
x
...
x
0
1
2
k
i
i
i
i
i
1
k
1
2
k
Oznaczenia
k
f
ozn
.
x
f
x
x
1
...
x
0
x
i
x
i
...
x
i
0
1
1
i
i
k
k
f
ozn
.
k
f
x
x
x
...
x
0
x
k
i
0
i
i
k
razy
Twierdzenie
(
o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej
)
Zał: - istnieje
k
-ta różniczka funkcji
f
w punkcie
d
x
0
f
x
Teza: pochodne cząstkowe funkcji
f
rzędu
k
w punkcie
x
0
wartość różniczki
k-tego rzędu w
oraz
k
f
},
x
d
k
x
f
e
,...,
e
,
gdzie
i
,...,
i
{
,...,
n
x
...
x
0
i
i
1
k
0
1
k
i
1
i
k
e
,...,
e
baza
kanoniczna
K
n
.
1
punkcie dla
wektorów bazowych
x
0
1
Niech
Twierdzenie
(
o istnieniu k-tej różniczki
)
Zał:
oraz
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe
k
-tego rzędu funkcji
f
w
U.
Top
n
,
f
:
U
R
Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu
k
funkcji
f
są ciągłe na zbiorze
U,
to
f
C
k
oraz
,
n
k
f
d
k
x
f
h
1
,...,
h
k
x
h
1
h
2
...
h
k
i
,
gdzie
x
U
x
...
x
1
2
k
,
1
,...,
i
1
i
i
h
j
R
h
j
,...,
h
j
n
n
dla
j
1
,...,
k
1
k
1
tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu
k
oraz wartość
k-
tej różniczki w punkcie
x
jest równa
sumie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z .
R
n
Twierdzenie
(
o równości pochodnych mieszanych
)
Zał:
Top
n
,
f
:
0
U
U
R
,
Teza:
1° Jeśli funkcja
f
ma
k
-tą różniczkę w punkcie
x
0
, to
k-
te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
.
x
k
f
k
f
d
k
x
f
P
,
P
permutacja
k
elementowa
:
x
x
0
x
...
x
0
x
...
x
0
i
1
i
k
i
P
1
P
k
2° Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu
k
funkcji
f
istnieją i są ciągłe w punkcie
x
0
,
to
k
f
k
f
P
,
P
permutacja
k
elementowa
:
x
x
x
...
x
0
x
...
x
0
i
1
i
i
P
1
i
P
k
czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych
względem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.
Uwaga
Pochodne występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy
pochodnymi mieszanymi
.
2
U
R
i
i
i
k
U
R
x
i
k
Przykład
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
f
1
x
,
y
xy
2
x
3
y
3
2
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=2
3
=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji
f
są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
f
yyy
0
f
xyy
6
f
xxy
12
x
f
xxx
12
y
bo
f
xyy
f
yxy
f
yyx
f
xxy
f
xyx
f
yxx
.
Przykład
Liczba pochodnych cząstkowych rzędu
m
funkcji dwóch zmiennych wynosi , jednakże jeśli
pochodne te są ciągłe, to wystarczy wyznaczyć tylko
m
+1 spośród nich.
2
m
Uwaga
Jeśli funkcja nie jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
x
0
,
x
f
D
2
, to pochodne mieszne
0
drugiego rzędu nie muszą być równe.
Przykład
Obliczyć pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu funkcji
xy
x
2
y
2
dla
(
x
,
y
)
(
0
),
f
x
,
y
x
2
y
2
0
dla
(
x
,
y
)
(
0
),
w punkcie (0,0).
f
lim
f
0
t
,
f
0
lim
f
t
,
f
0
lim
0
lim
0
0
x
t
t
t
t
0
t
0
t
0
t
0
f
0
lim
f
0
t
f
0
lim
f
0
t
f
0
lim
0
lim
0
0
y
t
t
t
t
0
t
0
t
0
t
0
Natomiast
dla
x,y
0
,
0
otrzymujem
y
:
f
3
x
2
y
y
3
x
2
y
2
2
x
2
y
x
2
y
2
y
x
4
4
x
2
y
2
y
4
x
,
y
x
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2
2
f
x
3
3
xy
2
x
2
y
2
2
xy
2
x
2
y
2
x
x
4
4
x
2
y
2
y
4
x
,
y
y
2
2
2
2
2
x
y
x
y
3
0
Zatem
f
0
t
,
f
0
f
t
,
f
0
2
f
y
y
y
y
t
0
lim
lim
lim
lim
1
1
x
y
t
0
t
0
t
t
0
t
0
Podobnie
1
f
0
t
f
0
f
0
t
f
0
2
f
t
x
x
x
x
0
lim
lim
lim
lim
1
y
x
t
t
t
t
0
0
0
t
0
i w konsekwencji
2
f
.
2
f
0
0
x
y
y
x
Stąd można wnioskować, że każda z pochodnych cząstkowych mieszanych rzędu drugiego nie jest
ciągła w punkcie (0,0).
opracował Marcin Uszko
4
t
t
t
t
[ Pobierz całość w formacie PDF ]