10 - Proste zginanie, Adam Bodnar - Wytrzymalosc materialow
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Proste zginanie
10. PROSTE ZGINANIE
10.1. Napr
ħŇ
enia i odkształcenia
Proste zginanie pr
ħ
ta pryzmatycznego wyst
ħ
puje wówczas gdy układ sił zewn
ħ
trznych po
jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje si
ħ
do momentu (pary sił), którego
płaszczyzna działania jest prostopadła do płaszczyzny przekroju, a wektor jest równoległy do
jednej z głównych centralnych osi bezwładno
Ļ
ci przekroju poprzecznego. Moment ten
M
nazywamy momentem zginaj
Ģ
cym. Naszym zadaniem b
ħ
dzie wyznaczenie macierzy
napr
ħŇ
e
ı
i odkształce
ı
oraz współrz
ħ
dnych wektora przemieszczenia w dowolnym punkcie
takiego pr
ħ
ta.
Rozwa
Ň
my wi
ħ
c, pokazany na rys. 10.1 pr
ħ
t pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego
A
okre
Ļ
lony w układzie osi (
X, Y ,Z
) w którym o
Ļ
X
jest osi
Ģ
pr
ħ
ta a osie (
Y, Z
) s
Ģ
głównymi
centralnymi osiami bezwładno
Ļ
ci jego przekroju poprzecznego. W rozwa
Ň
anym przypadku
wyst
ħ
puje proste zginanie w płaszczy
Ņ
nie (
X, Z
) a wektor momentu zginaj
Ģ
cego jest
równoległy do osi
Y
i dlatego na rysunku moment ten jest nazwany
M
y
. Materiał pr
ħ
ta jest
izotropowy, liniowo spr
ħŇ
ysty o stałych materiałowych
E
oraz n.
Z
Y
v
(
)
1
,
,
0
0
Z
t
Y
xz
t
M
y
xy
s
X
M
y
X
M
y
I
II
I
A
A
x
Rys. 10.1
x
Postawione zadanie rozwi
ĢŇ
emy post
ħ
puj
Ģ
c analogicznie jak w przypadku osiowego
rozci
Ģ
gania. Po dokonaniu my
Ļ
lowego przekroju pr
ħ
ta na dwie cz
ħĻ
ci, odrzuceniu cz
ħĻ
ci
II
i
przyło
Ň
eniu do cz
ħĻ
ci
I
układu sił wewn
ħ
trznych rozwa
Ň
ymy trzy komplety równa
ı
, tzn.
równania równowagi, geometryczne i fizyczne.
Równania równowagi wynikaj
Ģ
ce z twierdzenia o równowa
Ň
no
Ļ
ci odpowiednich układu sił
wewn
ħ
trznych i zewn
ħ
trznych w tym przypadku przyjm
Ģ
posta
ę
:
Í
Ë
ÐÐ
s
x
dA
=
0
,
ÐÐ
t
dA
=
0
,
ÐÐ
t
xz
dA
=
0
,
A
A
A
(9.1)
(
)
Í
ÐÐ
−
t
z
+
t
y
dA
=
0
,
ÐÐ
s
z
dA
=
M
,
ÐÐ
−
s
y
dA
=
0
.
xy
xz
x
y
x
Ì
A
A
A
Równania geometryczne b
ħ
d
Ģ
wynikiem analizy deformacji pr
ħ
ta po przyło
Ň
eniu obci
ĢŇ
e
ı
.
Obraz deformacji zginanego pr
ħ
ta przypuszczony w oparciu o przyj
ħ
te zało
Ň
enia odno
Ļ
nie
własno
Ļ
ci jego materiału i hipotez
ħ
płaskich przekrojów Bernoulliego pokazuje rys. 10.2.
108
xy
Ê
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Proste zginanie
Z
konfiguracja
pocz
Ģ
tkowa
Z
konfiguracja
aktualna
X
X
x
dx
warstwa oboj
ħ
tna
Rys. 10.2
= ,
• górne włókna uległy wydłu
Ň
eniu, a dolne skróceniu, istnieje warstwa włókien - warstwa
oboj
ħ
tna, których długo
Ļę
nie uległa zmianie, cho
ę
przyj
ħ
ły form
ħ
krzywoliniow
Ģ
o
stałym promieniu krzywizny r, i w konfiguracji pocz
Ģ
tkowej włókna te le
Ň
ały na
płaszczy
Ņ
nie (
X, Y
).
e
y
e
z
=
−
n
x
dx+
D
dx
D
‘
W celu wyznaczenia odkształcenia liniowego e
rozwa
Ň
my deformacj
ħ
odcinka pr
ħ
ta o dowolnie
małej długo
Ļ
ci
dx
przed przyło
Ň
eniem obci
ĢŇ
e
ı
(rys. 10.3). Po przyło
Ň
eniu obci
ĢŇ
enia przekroje
skrajne obróc
Ģ
si
ħ
i utworz
Ģ
dowolnie mały k
Ģ
t
d
j.
Je
Ļ
li r
jest promieniem krzywizny warstwy
oboj
ħ
tnej to odkształcenia liniowe e włókien
odległych o
z
od warstwy oboj
ħ
tnej wynosz
Ģ
:
C
‘
C
z
D
X
z
A
B
warstwa
oboj
ħ
tna
dx
d
j
r
z
e
=
lim
D
dx
=
lim
(
r
+
z
)
d
j
−
r
j
=
z
x
dx
®
0
dx
d
j
®
0
r
d
j
r
Rys. 9.3
Tak wi
ħ
c równania geometryczne maj
Ģ
posta
ę
:
e
=
r
e
=
e
=
−
n
=
−
n
r
x
y
y
x
g
xy
=
0
g
yz
=
0
g
zx
=
0
.
Napr
ħŇ
enia wyznaczymy korzystaj
Ģ
c z równa
ı
Hooke’a.
109
Analizuj
Ģ
c przypuszczony obraz deformacji pr
ħ
ta po przyło
Ň
eniu obci
ĢŇ
e
ı
przyjmiemy,
Ň
e:
• przekroje płaskie i prostopadłe do osi pr
ħ
ta przed przyło
Ň
eniem obci
ĢŇ
enia pozostały
płaskie i prostopadłe do osi pr
ħ
ta po deformacji,
• odkształcenia k
Ģ
towe włókien równoległych do osi układu odniesienia s
Ģ
równe zero,
• odkształcenia liniowe zwi
Ģ
zane s
Ģ
zale
Ň
no
Ļ
ci
Ģ
:
d
z
z
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Proste zginanie
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
E
e
x
1
+
n
x
1
−
2
n
x
y
z
x
x
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
0
y
1
+
n
y
1
−
2
n
x
y
z
y
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
Ù
®
s
=
0
z
1
+
n
z
1
−
2
n
x
y
z
z
t
xy
G
=
g
xy
®
t
xy
=
0
;
t
yz
G
=
g
yz
®
t
yz
=
0
;
t
zx
G
=
g
®
t
=
0
Nale
Ň
y teraz sprawdzi
ę
czy wyprowadzone w oparciu o obserwacje deformacji pr
ħ
ta
napr
ħŇ
enia spełniaj
Ģ
równania równowagi (10.1) i zwi
Ģ
za
ę
napr
ħŇ
enia z obci
ĢŇ
eniami, które
redukuj
Ģ
si
ħ
tylko do momentu zginaj
Ģ
cego.
Zerowanie si
ħ
napr
ħŇ
e
ı
stycznych powoduje,
Ň
e równania drugie, trzecie i czwarte s
Ģ
spełnione. Sprawdzamy pierwsze równanie:
ÐÐ
s
dA
=
0
®
ÐÐ
E
e
dA
=
0
®
E
ÐÐ
z
dA
=
0
x
x
r
A
A
A
jest ono spełnione bo całka przedstawia moment statyczny wzgl
ħ
dem osi
Y
przekroju
poprzecznego, a o
Ļ
ta jest jego osi
Ģ
centraln
Ģ
.
Równanie szóste:
ÐÐ
−
s
y
dA
=
0
®
−
E
ÐÐ
y
z
dA
=
0
x
r
A
A
jest spełnione bo osie (
Y, Z
) s
Ģ
głównymi osiami bezwładno
Ļ
ci przekroju poprzecznego, wi
ħ
c
całka w powy
Ň
szym równaniu, przedstawiaj
Ģ
ca moment dewiacji przekroju wzgl
ħ
dem tych
osi jest równa zero.
Sprawdzenie równania pi
Ģ
tego:
ÐÐ
s
z
dA
=
M
®
ÐÐ
E
z
2
dA
=
M
®
E
ÐÐ
z
2
dA
=
M
x
y
y
y
r
r
A
A
A
daje zale
Ň
no
Ļę
mi
ħ
dzy krzywizn
Ģ
osi zdeformowanego pr
ħ
ta i momentem zginaj
Ģ
cym:
1
=
M
y
,
(10.2)
r
E
J
y
co pozwala napisa
ę
zwi
Ģ
zki wi
ĢŇĢ
ce moment zginaj
Ģ
cy z odkształceniem liniowym i
napr
ħŇ
eniem normalnym:
e
=
M
y
z
(10.3)
x
E
J
y
110
Ç
×
Ç
×
×
Ç
)
zx
zx
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Proste zginanie
s
=
M
y
z
(10.4)
x
J
y
Ostatecznie wi
ħ
c macierze napr
ħŇ
e
ı
i odkształce
ı
przy prostym zginaniu w płaszczy
Ņ
nie
(
X, Z
) lub, inaczej mówi
Ģ
c przy prostym zginaniu wzgl
ħ
dem osi
Y
maj
Ģ
posta
ę
:
Ä
M
Ô
Ä
M
y
z
0
0
Ô
Å
y
z
0
0
Õ
Å
E
J
Õ
Å
J
Õ
Å
y
Õ
Å
y
Õ
M
y
T
=
0
0
0
T
=
Å
0
−
n
z
0
Õ
(10.5)
s
Å
Õ
e
Å
E
J
Õ
Å
0
0
0
Õ
y
Å
Õ
M
Å
y
Õ
Æ
Ö
0
0
−
n
z
E
J
Æ
y
Ö
9.2. Analiza stanu napr
ħŇ
enia i odkształcenia
W pr
ħ
cie poddanym prostemu zginaniu wyst
ħ
puje jednoosiowy niejednorodny stan
napr
ħŇ
enia scharakteryzowany jednym tylko napr
ħŇ
eniem normalnym s , które zale
Ň
y
liniowo od współrz
ħ
dnej
z
punktu, w którym obliczamy napr
ħŇ
enia.
Wzór (10.4) dowodzi,
Ň
e ko
ı
ce wektorów napr
ħŇ
enia s le
ŇĢ
na płaszczy
Ņ
nie, któr
Ģ
mo
Ň
emy
nazwa
ę
płaszczyzn
Ģ
napr
ħŇ
enia. Kraw
ħ
d
Ņ
przeci
ħ
cia si
ħ
płaszczyzny napr
ħŇ
enia z
płaszczyzn
Ģ
przekroju poprzecznego nazywa
ę
b
ħ
dziemy osi
Ģ
oboj
ħ
tn
Ģ
, gdy
Ň
jest ona
miejscem geometrycznym punktów, w których warto
Ļ
ci napr
ħŇ
e
ı
normalnych spełniaj
Ģ
równanie:
s
=
0
Podstawienie do niego zale
Ň
no
Ļ
ci (10.4) daje równanie osi oboj
ħ
tnej dla przypadku prostego
zginania w płaszczy
Ņ
nie (
X, Z
):
z
= 0,
co pokazuje,
Ň
e w rozwa
Ň
anym przypadku napr
ħŇ
enia zeruj
Ģ
si
ħ
w punktach le
ŇĢ
cych na osi
Y
,
to jest tej głównej centralnej osi bezwładno
Ļ
ci przekroju poprzecznego do której
równoległy jest wektor momentu zginaj
Ģ
cego. Zatem
o
Ļ
oboj
ħ
tna przy prostym zginaniu
pokrywa si
ħ
z kierunkiem wektora momentu zginaj
Ģ
cego i jej poło
Ň
enie nie zale
Ň
y od
warto
Ļ
ci momentu zginaj
Ģ
cego.
Najwi
ħ
ksze co do bezwzgl
ħ
dnej warto
Ļ
ci napr
ħŇ
enia wyst
Ģ
pi
Ģ
w punktach najodleglejszych
od osi oboj
ħ
tnej i maj
Ģ
warto
Ļę
:
max
s
=
M
y
max
z
=
M
y
,
(10.6)
x
J
W
y
y
gdzie:
W
y
=
J
y
- wska
Ņ
nik wytrzymało
Ļ
ci przy zginaniu wzgl
ħ
dem osi
Y.
max
z
Układ (rozkład) sił wewn
ħ
trznych w przekroju poprzecznym pr
ħ
ta pokazuje rys. 10.4.
111
Å
Õ
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Proste zginanie
Z
s
=
M
y
h
x
g
J
y
o
Ļ
oboj
ħ
tna
Y
h
g
M
y
X
h
d
s
=
M
y
h
x
J
d
y
X
Rys. 10.4
Poniewa
Ň
warto
Ļ
ci napr
ħŇ
e
ı
normalnych w tym przypadku nie zale
ŇĢ
od współrz
ħ
dnej
y
to
ich rozkład mo
Ň
na rysowa
ę
w płaszczy
Ņ
nie
y
= 0, jak to zostało pokazane na rys. 10.5.
Z
Z
M
Z
M
y
y
s
=
h
s
=
h
x
J
g
x
J
g
y
y
h
g
Y
X
X
h
d
M
y
M
M
y
s
=
h
s
=
y
h
x
d
J
x
d
J
y
y
Rys. 9.5
Napr
ħŇ
enie normalne s jest równocze
Ļ
nie napr
ħŇ
eniem głównym w danym punkcie, a dwa
pozostałe napr
ħŇ
enia główne s
Ģ
równe zeru i ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do
siebie i równocze
Ļ
nie prostopadłe do osi pr
ħ
ta.
Ekstremalne napr
ħŇ
enia styczne wyst
ħ
puj
Ģ
w przekrojach nachylonych pod k
Ģ
tem 45
°
do osi
pr
ħ
ta i równaj
Ģ
si
ħ
połowie napr
ħŇ
e
ı
normalnych w danym punkcie przekroju poprzecznego.
Stan odkształcenia jest te
Ň
niejednorodny ale trójosiowy. Odkształcenia liniowe w kierunku
równoległym do osi pr
ħ
ta s
Ģ
odkształceniami głównymi. Pozostałe dwa odkształcenia główne
s
Ģ
sobie równe a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocze
Ļ
nie
prostopadłe do osi pr
ħ
ta.
Na zako
ı
czenie warto zwróci
ę
uwag
ħ
,
Ň
e znaki w wyprowadzonych wzorach obowi
Ģ
zuj
Ģ
przy przyj
ħ
tych zwrotach osi układu odniesienia i wektora momentu gn
Ģ
cego. W przypadku
innych zwrotów nale
Ň
y we wzorach uwzgl
ħ
dni
ę
korekt
ħ
znaków.
10.3. Energia spr
ħŇ
ysta pr
ħ
ta zginanego
Podstawienie wyra
Ň
e
ı
okre
Ļ
laj
Ģ
cych elementy macierzy napr
ħŇ
e
ı
do wzorów (8.18) pozwala
na wyznaczenie g
ħ
sto
Ļ
ci energii spr
ħŇ
ystej i energii spr
ħŇ
ystej dla rozwa
Ň
anego przypadku
zginania prostego pr
ħ
ta w płaszczy
Ņ
nie (
X, Z
):
2
Ä
M
Ô
1
F
=
Å
y
z
Õ
,
2
E
J
Æ
y
Ö
112
[ Pobierz całość w formacie PDF ]