10-Rezonans w obwodzie szeregowym RLC. Elektromagnetyczne drgania wymuszone w obwodzie RLC, PW, Semestr 3, FIZY2, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Politechnika Warszawska
Wydział Fizyki
Laboratorium Fizyki I Płd.
Marek Kowalski
10
ELEKTROMAGNETYCZNE DRGANIA WYMUSZONE W OBWODZIE RLC
1. Podstawy fizyczne
Drganiasą zjawiskiem powszechnie występującym w przyrodzie i w technice. W zjawisku tym stan
fizyczny układu drgającego opisywany jest przez wielkości fizyczne zależne okresowo od czasu.
Najważniejszym, a także najprostszym rodzajem drgań są tzw. drgania harmoniczne, w których zależność
od czasu można opisać funkcjami sinus lub/i cosinus. Duże znaczenie tego rodzaju drgań polega na tym,
że dowolne drganie można przedstawić w postaci kombinacji liniowej różnych drgań harmonicznych
(tzw. analiza Fouriera).
Swobodne drgania harmoniczne wykonuje układ fizyczny, do którego została jednorazowo
dostarczona pewna porcja energii i nie ma dalszego wpływu otoczenia na układ. Jeśli występuje
niewielkie tłumienie liniowe (proporcjonalne do pochodnej po czasie podstawowego parametru
opisującego stan układu, np. wychylenia z położenia równowagi w drganiach mechanicznych, lub
ładunku na kondensatorze w drganiach elektromagnetycznych), to zachodzą „prawie okresowe” drgania
zanikające. Drgania harmoniczne opisywane są za pomocą liniowych równań różniczkowych, czyli
takich, w których występuje kombinacja liniowa (suma ze stałymi współczynnikami) funkcji i jej
pochodnych po czasie.
Jeśli na układ drgający działa harmoniczne (sinusoidalne) wymuszenie, dostarczające okresowo
energię, to mimo występowania tłumienia liniowego zachodzą ustalone drgania wymuszone. Takie
oddziaływanie zewnętrzne nie powinno zmieniać własności układu drgającego, a także amplituda,
częstość i faza tego oddziaływania nie powinny zależeć od stanu układu drgającego. Założenia te mają
oczywiście charakter modelowy, gdyż w układach rzeczywistych występują pewne sprzężenia między
układem pobudzanym do drgań i źródłem wymuszania. Aby przewidywania modelu teoretycznego
zgadzały się z doświadczeniem ważne jest aby te odstępstwa były niewielkie, a więc do pominięcia.
1.1. Elektromagnetyczne drgania harmoniczne swobodne.
Modelowym układem fizycznym, w którym zachodzić mogą elektromagnetyczne drgania
harmoniczne swobodne jest zamknięty obwód elektryczny o oporności równej zeru, zawierający cewkę o
indukcyjności
L
i kondensator o pojemności
C
.
L
-q +q
0
0
C
Rys.1. Obwód LC - elektromagnetyczny oscylator harmoniczny swobodny.
W obwodzie przedstawionym na rys.1 kondensator został naładowany ładunkiem
q
0
. Gdy w chwili
t
= 0 zamkniemy obwód, to kondensator zacznie się rozładowywać i zmieniający się prąd rozładowania
spowoduje powstanie w cewce siły elektromotorycznej samoindukcji. Stan fizyczny obwodu można
opisać za pomocą II prawa Kirchhoffa:
Elektromagnetyczne drgania wymuszone w obwodzie RLC
2
U
L
+
U
C
= 0 , gdzie:
U
L
= ,
L
di
U
C
= ,
q
i
= .
dq
(1)
dt
C
dt
Po podstawieniach i przekształceniach otrzymujemy
równanie elektromagnetycznego oscylatora
harmonicznego swobodnego
:
d
2
q
1
=
−
⋅
q
.
(2)
2
LC
dt
Rozwiązaniem tego równania, spełniającym warunki początkowe:
q
(0) =
q
0
,
i
(0) = 0 jest funkcja:
q
(
t
)
=
q
0
cos
ω
0
t
,
(3)
gdzie:
ω
0
=
1
-
częstość drgań własnych
obwodu LC ,
(4)
LC
ω - faza drgań,
q
0
- amplituda drgań.
⋅
t
Mając funkcję
q
(
t
) można obliczyć napięcie na kondensatorze
U
C
(
t
), natężenie prądu
i
(
t
)
oraz
napięcie na cewce
U
L
(
t
):
U
(
t
)
=
q
(
t
)
=
q
0
cos
ω =
t
U
cos
ω
t
,
U
C
=
q
0
;
(5)
C
0
C
0
0
0
C
C
C
i
(
t
)
=
dq
=
−
q
ω
sin
ω
t
=
i
cos(
ω
t
+
π
/
2
),
i
=
q
ω
;
(6)
0
0
0
0
0
0
0
0
dt
U
(
t
)
=
L
di
=
−
Lq
ω
2
0
cos
ω
t
=
U
cos(
ω
t
+
π
)
,
U
L
= ω
Lq
2
0
=
q
0
(7)
L
0
0
L
0
0
0
0
dt
C
Wartozauważyć, że napięcia na kondensatorze i cewce mają równe amplitudy i przeciwne fazy
(przesunięcie fazowe wynosi
-
π), zaś natężenie prądu jest przesunięte w fazie o
-
π/2.
Z powyższej analizy wynika, że po dostarczeniu do obwodu LC porcji energii (naładowanie
kondensatora) i braku dalszej ingerencji zewnętrznej, zachodzą w nim drgania harmoniczne swobodne -
wielkości opisujące stan układu są funkcjami harmonicznymi. Porównanie z mechanicznym oscylatorem
harmonicznym swobodnym (np. klocek o masie
m
zaczepiony do sprężyny o współczynniku sprężystości
k
) pokazuje, że ładunek na kondensatorze jest wielkością analogiczną do wychylenia z położenia
równowagi a natężenie prądu do prędkości. Pełne zestawienie analogii między drganiami
elektromagnetycznymi i drganiami mechanicznymi przedstawiono w tabeli nr 1.
Okres i częstotliwość drgań swobodnych
(inaczej drgań własnych) obwodu LC są równe:
T
=
2
π
=
2
π
LC
.
υ
=
1
=
ω
0
=
1
1
.
(8)
0
0
ω
T
2
π
2
π
LC
0
0
Przejdźmy teraz do rozważań energetycznych. Iloczyn napięcia i natężenia prądu jest równy mocy,
a zatem możemy obliczyć moc
P
E
i energię
W
E
pola elektrycznego w kondensatorze:
P
E
=
dW
E
=
U
C
⋅
i
=
dq
⇒
W
E
=
∫
q
dq
=
1
⋅
q
2
=
1
⋅
q
0
cos
2
ω
0
t
(9)
dt
dt
C
2
C
2
C
oraz moc
P
B
i energię
W
B
pola magnetycznego w cewce:
Elektromagnetyczne drgania wymuszone w obwodzie RLC
3
P
=
dW
B
=
U
⋅
i
=
L
di
⋅
i
⇒
W
=
∫
Lidi
=
1
Li
2
=
1
⋅
q
0
sin
2
ω
t
.
(10)
B
L
B
0
dt
dt
2
2
C
Jak widać, energie pól w kondensatorze i w cewce mają takie same amplitudy, ale są przesunięte
w fazie o π/2. Całkowita energia układu drgającego będąca sumą energii pola elektrycznego
w kondensatorze i pola magnetycznego w cewce
1
W
=
W
+
W
=
⋅
q
0
=
const
(11)
E
B
2
C
jest stała i równa energii dostarczonej do obwodu.
Z powyższych rozważań wynika, że elektromagnetyczne drgania swobodne w obwodzie LC
można traktować jak okresowe przemiany energii pola elektrycznego w kondensatorze w energię pola
magnetycznego w cewce i na odwrót. Okres tych przemian jest równy połowie okresu drgań własnych,
czyli okresu zmienności napięć na kondensatorze i cewce oraz natężenia prądu. W rzeczywistych
obwodach elektrycznych występuje zawsze niezerowy opór elektryczny, a więc wydziela się energia
cieplna. W takim przypadku energia układu drgającego maleje i po pewnym czasie drgania zanikają.
Tabela 1. Swobodne drgania harmoniczne
DRGANIA MECHANICZNE
DRGANIA ELEKTROMAGNETYCZNE
siła harmoniczna
napięcie na kondensatorze
F
h
=
−
kx
U
C
1
=
q
C
d
2
x
k
d
2
q
1
=
−
x
−=
q
2
m
2
LC
dt
dt
x
(
t
)
=
x
0
cos(
ω −
0
t
φ
)
q
(
t
)
0
= ω −φ
q
cos(
0
t
)
ω
=
k
ω
0
=
1
m
LC
masa ciała
m
indukcyjność cewki
L
współczynnik sprężystości sprężyny
k
odwrotność pojemności kondensatora 1/
C
położenie względem stanu równowagi
x
ładunek zgromadzony w kondensatorze
q
prędkość liniowa
natężenie prądu
v
=
dx
i
=
dq
dt
dt
przyspieszenie liniowe
d
a
=
2
x
d
2
q
dt
2
dt
2
energia potencjalna
energia pola elektrycznego w kondensatorze
W
P
=
1
kx
2
W
E
2
=
Q
2
2
C
energia kinetyczna
energia pola magnetycznego w cewce
1
m
1
Li
W
K
=
v
2
W
B
=
2
2
2
Elektromagnetyczne drgania wymuszone w obwodzie RLC
4
1.2.
Elektromagnetyczne drgania wymuszone
Elektromagnetyczne drgania wymuszone można zaobserwować w obwodzie RLC (zawierającym
cewkę o indukcyjności
L,
kondensator o pojemności
C
oraz rezystor o rezystancji
R
), do którego
dołączone zostało źródło napięcia sinusoidalnego (rys. 2).
R
L
C
U(t)
U
(
t
)
=
U
0
sin
ω
t
Rys.2. Obwód RLC ze źródłem napięcia wymuszającym drgania.
Stan fizyczny tego układu opisuje w dowolnej chwili II prawo Kirchhoffa:
U
L
+
U
R
+
U
C
=
U
0
sin
ω
t
, czyli :
(12)
L
di
+
Ri
+
q
=
U
sin
ω
t
.
(13)
0
dt
C
Po podzieleniu równania (13) przez
L
i podstawieniu
dq
=
i
R
2
=
β
1
=
ω
0
(14)
dt
L
LC
gdzie: β
- współczynnik tłumienia
, ω
0
- częstość drgań swobodnych, otrzymujemy
równanie
elektromagnetycznych drgań wymuszonych
:
d
2
q
dq
0
U
0
+
2
β
+
ω
q
=
sin
ω
t
.
(15)
2
dt
L
dt
W równaniu tym bezpośrednie parametry układu fizycznego, jakimi są w przypadku obwodu RLC:
indukcyjność
L
, pojemność
C
i rezystancja
R
zostały zastąpione przez uniwersalne parametry
występujące w opisie drgań harmonicznych dowolnego układu fizycznego (np. oscylator harmoniczny
mechaniczny), a mianowicie przez częstość drgań własnych ω
0
i współczynnik tłumienia β.
Ponieważ napięcie wymuszające jest sinusoidalną funkcją czasu, to rozwiązania tego równania
poszukujemy w postaci funkcji:
q
(
t
)
=
q
0
sin(
ω −
t
φ
)
(16)
a zatem przewidujemy, że ładunek na kondensatorze będzie się zmieniać sinusoidalnie z częstością taką
jak częstość napięcia wymuszającego oraz, że będzie przesunięty w fazie o φ względem tego napięcia.
Po podstawieniu przewidywanej funkcji
q
(
t
) do równania (15) i zażądaniu, aby równanie to stało się
tożsamością (funkcja
q
(t) musi spełniać to równanie w każdej chwili czasu) otrzymamy wzory
określające
amplitudę ładunku
q
0
i
przesunięcie fazowe
φ:
U
0
q
0
=
L
,
φ
=
ar
ctg
2
βω
(17)
0
2
2
2
2
2
0
2
(
ω
−
ω
)
+
4
β
ω
ω
−
ω
Elektromagnetyczne drgania wymuszone w obwodzie RLC
5
Przy ustalonych parametrach układu
R
,
L
,
C
, a więc również ω
0
i β amplituda ładunku oraz
przesunięcie fazowe są funkcjami częstości ω napięcia wymuszającego. Po przeprowadzeniu badania
funkcji
q
0
(ω) można stwierdzić, że amplituda ładunku na kondensatorze osiąga wartość maksymalną dla
częstości wymuszania ω
r
określonej wzorem :
ω
=
ω
0
2β
2
−
2
,
gdzie
β =
〈
ω
2
.
(18)
r
g
2
Zjawisko wymuszania drgań z taką częstością przy której amplituda drgań osiąga wartość
maksymalną nazywamy
rezonansem
.
Rezonans w obwodzie RLC zachodzi przy częstości wymuszania
ω
r
, zwanej
częstością rezonansową
, gdy współczynnik tłumienia β jest mniejszy od wartości
granicznej β
g
. Gdy tłumienie jest większe (
β≥ ), układu RLC nie udaje się wprowadzić w stan
ω
2
2
rezonansu.
Amplitudę drgań i przesunięcie fazowe w stanie rezonansu można wyrazić wzorami:
U
0
ω
2
0
−
2
β
2
L
(
q
)
=
,
φ
=
ar
ctg
.
(19)
0
max
r
2
0
2
β
2
β −
β
Szczególny przypadek rezonansu występuje w przypadku gdy współczynnik tłumienia β=0.
Dla takiego układu rezonans zachodzi przy częstości wymuszania równej częstości drgań
własnych ω
r
=ω
0
i objawia się wzrostem amplitudy do nieskończoności oraz przesunięciem fazowym
φ
r
=π/2. W takiej sytuacji dochodzi przeważnie do zniszczenia układu drgającego zanim amplituda drgań
osiągnie wartość nieskończoną.
Graniczne wartości amplitudy drgań
q
0
i przesunięcia fazowego φ dla częstości wymuszania
dążącej do zera wynoszą:
lim =
ω
q
0
U
0
C
,
lim
0
φ
=
0
.
(20)
0
ω
→
Dla częstości znacznie przekraczających częstość własną, wartości graniczne amplitudy drgań
i przesunięcia fazowego wynoszą:
lim
0
=
∞
q
0
,
lim =
∞
tg
φ
0
, a więc
lim
φ
=
π
.
(21)
ω
→
ω
→
ω
∞
Warto zaznaczyć, że
niezależnie od wartości współczynnika tłumienia, przesunięcie fazowe
φ
osiąga wartość
π/2
przy częstości wymuszania
ω
równej częstości drgań własnych układu
ω
0
.
Wzory opisujące drgania wymuszone i rezonans można zapisać w uniwersalnej postaci
bezwymiarowej, słusznej zarówno dla drgań elektromagnetycznych, jak i dla drgań mechanicznych. W
tym celu wprowadza się tzw.
parametry zredukowane
:
zredukowany współczynnik tłumienia:
u
=
β
,
(22)
ω
zredukowana częstość drgań:
w
=
ω
, (23)
ω
[ Pobierz całość w formacie PDF ]