10.RÓW OSI UG BELKI, Wytrzymałość materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RÓWNANIE RÓ
ś
NICZKOWE OSI UGI
Ę
TEJ BELKI
W wyniku działania momentu gnącego zachodzi wzajemny obrót względem
osi obojętnej uprzednio równoległych przekrojów (rys 1.a). Odkształcenia te po-
wodują zakrzywienie, czyli ugięcie prostej osi pręta. W układzie prostokątnym w
którym oś
x
pokrywa się z nieodkształconą osią pręta (rys 1.b), oś ugiętą określa
równanie osi ugiętej
y
)
, jej krzywiznę natomiast wyraŜa wzór (1).
=
f
(
x
1
Mg
=
-
r
EI
(1)
Wzór powyŜszy nie uwzględnia wpływu siły poprzecznej, poniewaŜ jej wpływ w
większości zagadnień technicznych jest znikomy.
Rys 1.
Z analizy róŜniczkowej krzywiznę dowolnej krzywej płaskiej
y
)
przedsta-
=
f
(
x
wia równanie
2
d
y
1
2
dx
=
±
r
3
2
dy
(2)
1
+
dx
1
Mg
podstawiając
otrzymuje się
=
-
r
EI
1
2
d y
dx
Mg
EI
2
= ±
3
2
dy
dx
(3)
1
+
Jest to
równanie osi ugi
ę
tej w postaci ró
Ŝ
niczkowej
W praktyce inŜynierskiej - duŜa sztywność prętów - odkształcenia małe, promienie
krzywizny bardzo duŜe w wyniku czego przemieszczenia liniowe
y
)
oraz
=
f
(
x
przemieszczenia kątowe
y
są małe.
'
'
=
f
(
x
)
Przemieszczenie liniowe nazywać będziemy
ugi
ę
ciem
.
Przemieszczenie kątowe nazywać będziemy
k
ą
tem ugi
ę
cia
.
2
dy
dx
JeŜeli przyjmuje się, Ŝe
k
ą
ty ugi
ę
cia
są
bardzo małe
, to
jest jeszcze mniej-
3
2
dy
dx
1
+
»
1
sze. Stąd moŜna przyjąć, Ŝe
Przy powyŜszych załoŜeniach równanie (3) przyjmie postać
2
d
y
(
2
x
)
Mg
(
x
)
=
±
(4)
dx
EI
2
Rys.2.
Przyjęcie w równaniu (4) znaku minus lub plus zaleŜne jest od umownego ustale-
nia znaku momentu gnącego oraz orientacji układu współrzędnych. Stosując ozna-
czenia momentu gnącego i układu osi jak na (rys.2.) równanie róŜniczkowe osi
ugiętej pisze się w postaci
2
d y x
dx
(
)
Mg x
EI
(
)
= -
2
(5)
W praktyce wymiary i materiał belki nie zmieniają się na długości pręta, w rezul-
tacie czego
EI
. RóŜniczkując w takim przypadku równanie (5) dwukrotnie
=
const
dMg
(
x
)
dT
2
d Mg x
dx
(
)
=
-
T
,
=
-
q
= -
q
i uwzględniając zaleŜność
otrzymuje-
2
dx
dx
my
4
d y x
dx
(
)
EI
= -
q
4
(6)
W zagadnieniach inŜynierskich wyznaczenie linii ugięcia belki rozpoczyna
się od określenie sił wewnętrznych
T(x)
i
Mg(x)
. Następnie dwukrotnie całkując
równanie (5) otrzymujemy
3
2
d y x
dx
(
)
EI
= -
Mg x
(
)
równanie momentu
2
dy x
dx
(
)
∫
EI
= -
Mg x
(
)
dx
+
C
równanie k
ą
ta ugi
ę
cia
(
)
∫
∫
EIy x
(
)
= -
Mg x
(
)
dx dx
+
Cx
+
D
równanie linii ugi
ę
cia
Oś ugięta powinna być krzywą gładką pozbawioną załamań.
Moment gnący określa się dla danego odcinka belki równaniem analitycz-
nym. Po dwukrotnym scałkowaniu takiego równania otrzymuje się dwie stałe cał-
kowania C i D - określa się je z warunków brzegowych, to znaczy z warunków
którym muszą odpowiadać przemieszczenia na brzegach przedziałów. Warunek
ten dla punktów stanowiących granicę przedziałów wyrazi się jako warunek niero-
zerwalności
k
ą
tów ugi
ę
cia
i
przemieszcze
ń
liniowych
.
4
Przykład:
Wyznaczyć przemieszczenia liniowe i kątowe w belce wspornikowej jak na
(rys.3.). Dane
l, EI=const, P
.
Z warunków równowagi wyznaczamy
R
=
P
;
M
=
Pl
A
Dla przyjętego układu osi
x, y
moment gnący wyraŜa się na całej długości belki
jednym równaniem
-
M
+
Rx
-
Mg
(
x
)
=
0
A
-
Pl
+
Px
=
Mg
(
x
)
-
M
+
Rx
=
Mg
(
x
)
A
lub po podstawieniu
Mg x
(
)
= -
Pl
+
Px
Zgodnie z równaniami momentu, ugięcia i kąta
2
d y x
dx
(
)
EI
= -
Mg x
(
)
równanie momentu
2
dy x
dx
(
)
∫
EI
= -
Mg x
(
)
dx
+
C
równanie k
ą
ta ugi
ę
cia
(
)
∫
∫
EIy x
(
)
= -
Mg x
(
)
dx dx
+
Cx
+
D
równanie linii ugi
ę
cia
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]