10-Z-Zginanie, AGH, IMiR, Wytrzymalosc materialow
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10 – Zginanie - ZADANIA
NAJWAŻNIEJSZE WZORY:
Rozkład naprężeń normalnych w przekroju zginanym
σ
x
(
z
)=
M
y
I
y
⋅
z
• zginanie proste:
σ
x
(
y,z
)=
M
y
I
y
⋅
z
−
M
z
I
z
⋅
y
• zginanie ukośne:
Dla głównego centralnego układu współrzędnych
xy
obróconego o kąt
φ
względem pewnego przyjętego układu centralnego
YZ
:
M
y
=
M
Y
⋅cosφ +
M
Z
⋅sinφ
M
z
=
M
Z
⋅cosφ−
M
Y
⋅sinφ
▪
Rozkład wektora momentu:
y
=
Y
⋅cosφ+
Z
⋅sinφ
z
=
Z
⋅cosφ −
Y
⋅sin φ
▪
Transformacja współrzędnych:
W
y
=
I
y
z
max
, W
z
=
I
z
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
y
max
W
y
=
bh
2
6
, W
z
=
b
2
h
• przekrój prostokątny:
6
W
y
=
W
z
=
π
R
3
4
=
π
D
3
• przekrój kołowy:
32
Rozkład naprężeń stycznych w przekroju zginanym poprzecznie:
τ
xz
=
Q
(
x
)⋅
S
y
(
z
)
I
y
⋅
b
(
z
)
(
4
−
z
h
2
)
τ
max
=τ(
z
=0)=
3
2
A
• przekrój prostokątny:
τ
xz
(
z
)=
6
Q
bh
(
1−
z
R
2
)
τ
max
= τ(
z
=0)=
4
Q
τ
xz
(
z
)=
4
Q
• przekrój kołowy:
3π
R
2
3
A
τ
xy
(
y,z
)=
4
Qyz
3π
R
2
(tylko dla punktów konturu!)
τ
wyp
=
√
τ
x
2
+τ
xz
2
Zginanie proste
ZADANIE 1
Dany jest wspornik o długości
L
= 3,5 m obciążony na końcu siłą skupioną
P = 5
0 kN.
Dobrać minimalny przekrój IPN zdolny przenieść to obciążenie, jeśli wytrzymałość na
rozciąganie/ściskanie
f
d
= 215 MPa
.
Maksymalny moment zginający (w przekroju utwierdzenia):
M
max
=
PL
= 175 kNm
Wymagany wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
σ
max
=
M
max
W
y
<
f
d
⇒
W
y
>
M
max
f
d
= 813,95 cm
3
Najmniejszym profilem IPN o większym wskaźniku wytrzymałości jest IPN 160:
⇒ σ
max
=
M
max
W
IPN360
= 1090 cm
3
W
y
IPN360
= 165,55 MPa
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10 – Zginanie - ZADANIA
ZADANIE 2
Dany jest stalowy pręt zginany o średnicy
D
= 16 mm
,
obciążony jak na rysunku. Dobrać maksymalną wartość
parametru obciążenia
P
, jeśli
f
d
= 210 MPa
.
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
W
y
=
π
D
3
32
= 0,402cm
3
Układ jest symetryczny – reakcja na każdej z podpór jest równa połowie sumy układu sił, a
maksymalny moment zginający występować będzie w połowie przęsła
R
A
=
R
E
=
1
2
(3
P
+2
P
+3
P
)= 4
P
M
max
=
R
A
⋅2−3
P
⋅1 = 5
P
Maksymalną wartość parametru obciążenia
P
wyznaczamy z warunku wytrzymałości:
σ
max
=
M
max
W
y
<
f
d
⇒
P
<
f
d
⋅
W
y
=
210⋅10
6
⋅0,402⋅10
−6
5
= 16,884 [N]
5
ZADANIE 3
Dana jest belka swobodnie podparta długości 4 m o przekroju
skrzynkowym, kwadratowym, obciążona obciążeniem
równomiernym
q
=1,65 kN/m
na całej długości i siłą
skupioną
P
= 10 kN
w środku przęsła. Dobrać wymiary
przekroju ( przyjąć
b
=6a
), jeśli graniczne naprężenie
normalne
k
r
= 80 MPa
. Wyznaczyć rozkład naprężeń
normalnych w przekroju maksymalnego momentu zginającego.
Charakterystyki geometryczne przekroju:
[
(6
a
)
4
12
]
−
[
(4
a
)
4
12
]
=
26
3
a
4
≈ 86,667
a
4
Moment bezwładności przekroju:
I
y
=
W
y
=
I
y
z
max
=
86,667
a
4
= 28,889
a
3
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
3
a
Maksymalny moment zginający występuje w środku przęsła. Jego wartość możemy określić
korzystając ze znanych wzorów na maksymalny moment pod obciążeniem ciągłym i pod
siłą skupioną oraz z zasady superpozycji:
4
+
qL
2
M
max
=
PL
8
= 13,3 kNm
Minimalną wielkość wymiaru
a
dobieramy z warunku wytrzymałości:
σ
max
=
M
max
√
M
max
W
y
<
k
r
⇒
a
>
3
28,889⋅
k
r
= 1,79 cm
Przyjęto:
a
= 2 cm
.
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10 – Zginanie - ZADANIA
ZADANIE 4
Dana jest betonowa, niezbrojona belka o przekroju teowym,
obciążona jak na rysunku. Dobrać minimalny wymiar
a
przekroju z uwagi na jego zginanie. W obliczeniach przyjąć
wytrzymałość na rozciąganie
f
ctm
= 2,9 MPa
,
i wytrzy-
małość na ściskanie
f
cm
= 38 MPa
.
Charakterystyki geometryczne przekroju symetrycznego –
przyjmujemy pomocniczy układ współrzędnych o osi
poziomej
y'
pokrywającej się z górną krawędzią przekroju.
A
=
[
2
a
⋅5
a
]
+
[
a
⋅4
a
]
= 14
a
2
⇒
z'
C
=
S
y'
A
=
13
S
y'
=
[
2
a
⋅5
a
⋅
a
]
+
[
a
⋅4
a
⋅4
a
]
= 26
a
3
7
a
≈ 1,857
a
[
5
a
⋅(2
a
)
3
]
+
[
a
⋅(4
a
)
3
]
=
722
(
a
−
1
7
a
)
(
4
a
−
1
7
a
)
2
2
21
a
4
≈ 34,381
a
4
I
y
=
+5
a
⋅2
a
⋅
+
a
⋅4
a
⋅
12
12
Wskaźnik wytrzymałości dla włókien górnych:
W
yg
=
I
y
z
g
=
I
y
z'
C
=
722
39
a
3
≈ 18,513
a
3
Wskaźnik wytrzymałości dla włókien dolnych:
W
yd
=
I
y
I
y
(6
a
−
z'
C
)
=
722
87
a
3
≈ 8,299
a
3
z
d
=
Przekrój zginany jest tylko w płaszczyźnie
xz
– nie ma potrzeby wyznaczania
charakterystyk geometrycznych związanych z osią
z
.
Reakcje podporowe:
Σ
X
=
H
A
= 0
Σ
M
A
=−2⋅4⋅2+
V
B
⋅4−4⋅6 = 0 ⇒
V
B
= 10 [kN]
Σ
Y
=
V
A
−2⋅4+
V
B
−4 = 0 ⇒
V
A
= 2 [kN]
Rozkład sił poprzecznych i momentów zginających:
Przedział AB
Przedział BC
{
Ekstremum lokalne
M
:
Q
(
x
e
)=0 ⇒
x
e
=1
M
(
x
e
)=1
Q
= 2−2x
M
= 2
x
−2
x
⋅
x
2
{
Q
= 4
M
= 4(6−
x
)
Rozpatrujemy dwa przekroje:
•
przekrój
α−α
- maksymalny moment przęsłowy
M
α
= 1 kNm
.
Rozciąganie dołem, ściskanie górą.
\
•
Przekrój
β−β
- maksymalny moment podporowy
M
β
= 8 kNm
.
Rozciąganie górą, ściskanie dołem.
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10 – Zginanie - ZADANIA
PRZEKRÓJ
α−α
Rozciąganie dołem:
σ
max
=
M
α
√
M
α
W
yd
<
f
ctm
⇒
a
>
3
8,299
f
ctm
= 3,46cm
√
M
α
σ
min
=
M
α
W
yg
<
f
cm
⇒
a
>
3
Ściskanie górą:
18,513
f
cm
= 1,12 cm
PRZEKRÓJ
β−β
√
M
β
σ
max
=
M
β
3
Rozciąganie górą:
W
yg
<
f
ctm
⇒
a
>
18,513
f
c
tm
= 5,30 cm
√
M
β
σ
min
=
M
β
W
yd
<
f
cm
⇒
a
>
3
Ściskanie dołem:
8,299
f
cm
= 2,93 cm
Przyjęto:
a
=5,5 cm
.
ZADANIE 5
Dana jest belka swobodnie podparta o przekroju ceowym C200
wykonana za stali o
f
d
= 215 MPa
, która obciążona będzie siłą
skupioną
P
= 50 kN tak jak na rysunku. Obciążenie to przekracza
wartość dopuszczalną. Nośność belki można zwiększyć poprzez
przyspawanie do półek ceownika dodatkowych blach. Jaka powinna
być ich grubość i na jakiej długości należy wzmocnić przekrój belki?
Grubość nakładek
Minimalną grubość nakładek wyznaczymy na podstawie znajomości maksymalnego
momentu zginającego.
Reakcje podporowe:
Σ
X
=
H
A
= 0
Σ
M
A
=−50⋅3+
V
B
⋅5 = 0 ⇒
V
B
= 30 [kN]
Σ
Y
=
V
A
−50+
V
B
= 0 ⇒
V
A
=20 [kN]
Rozkład sił poprzecznych i momentów zginających:
AB
:
x
∈(0
;
3)
{
Q
(
x
)= 20
BC
:
x
∈(3
;
5)
{
Q
(
x
)=−30
M
(
x
)= 20⋅
x
M
(
x
)= 30⋅(5−
x
)
M
max
= 60 kNm
Maksymalny moment zginający:
W
min
=
M
max
f
d
= 279,07 cm
3
Wymagany wskaźnik wytrzymałości przekroju:
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10 – Zginanie - ZADANIA
Przyjmujemy, że nakładki o grubości
t
przyspawane są z obydwu stron
ceownika oraz, że ich szerokość jest równa szerokości półki ceownika
b
f
= 7,5 cm
. Wszystkie obliczenia prowadzimy w centymetrach. Moment
bezwładności wzmocnionego przekroju:
[
b
f
⋅
t
3
(
h
C20
2
+
t
2
)
]
=1910+2⋅
[
7,5
t
3
]
=
2
(
2
2
+
t
2
)
2
I
wzm
=
I
C200
+ 2⋅
12
+
b
f
⋅
t
⋅
12
+7,5
t
=5
t
3
+150
t
2
+1500
t
+1910
Odległość do skrajnych włókien w przekroju wzmocnionym:
z
max,wzm
=
1
2
h
C200
+
t
= 10+
t
Żądamy, aby wskaźnik wytrzymałości przekroju wzmocnionego był równy minimalnemu
wymaganemu wskaźnikowi – z tej zależności wyznaczamy minimalną grubość nakładek:
I
wzm
z
max,wzm
=
W
min
⇒
t
3
+30
t
2
+224
t
−178 = 0 ⇒
t
= 0,723 [cm]
W
wzm
=
Przyjmujemy:
t
= 8 mm .
I
wzm
= 3208,56 cm
4,
z
max,wzm
= 10,8 cm
, W
wzm
= 297,09 cm
3
Naprężenia maksymalne w przekroju wzmocnionym:
σ
max
=
M
max
W
wzm
= 201,96 MPa <
f
d
Długość nakładek
Długość nakładek wyznaczymy na podstawie znajomości maksymalnego dopuszczalnego
momentu zginającego dla przekroju niewzmocnionego:
M
dop
=
f
d
⋅
W
C200
= 215⋅10
6
⋅191⋅10
−6
= 41,065⋅10
3
[Nm]
W obydwu przedziałach charakterystycznych wyznaczyć musimy taki przekrój, w którym
moment zginający osiąga tę graniczną wartość:
M
AB
=
M
dop
⇒ 20⋅
x
= 41,065 ⇒
x
= 2,05 [m]
M
BC
=
M
dop
⇒ 30⋅(5−
x
)= 41,065 ⇒
x
= 3,63 [m]
Przyjęto, że przekrój wzmocniony zostanie od punktu
x
= 2 m
do punktu
x
=3,7 m
.
Całkowita wymagana długość nakładek:
L
= 3,7 − 2,0 = 1,7 [m]
M
(
x
=2)= 40 kN
,
M
(
x
=3,7)= 39 kN
Maksymalne naprężenia od zginania w punktach wzmocnienia lub
osłabienia przekroju:
M
AB
(
x
=2)
W
C200
M
AB
(
x
=2)
W
wzm
= 209,42 MPa
= 134,64 MPa
M
BC
(
x
=3,7)
W
C200
M
BC
(
x
=3,7)
W
wzm
= 204,19 MPa
= 131,27 MPa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]