10 Zasada zachowania pędu II, MATURA FIZYKA, Inne, Wykłady z fizyki, Wykłady z fizyki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 10
10.Zasada zachowania p
ę
du II
10.1
Układy o zmiennej masie
Dotychczas zajmowali
ś
my si
ę
układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy si
ę
ukła-
dami, których masa zmienia si
ę
podczas obserwacji.
Przykładem niech b
ę
dzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gor
ą
cy gaz z du
Ŝą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
, zmniejszaj
ą
c w ten sposób swoj
ą
mas
ę
i zwi
ę
kszaj
ą
c pr
ę
dko
ść
(rysunek po-
ni
Ŝ
ej).
v
s
v
dm
s
m
Spaliny opuszczaj
ą
silnik rakiety ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
v
s
wzgl
ę
dem Ziemi. Pr
ę
dko
ść
chwilowa rakiety wzgl
ę
dem Ziemi jest równa
v
, zatem pr
ę
dko
ść
spalin wzgl
ę
dem rakie-
ty
v
wzg
.
jest dana zale
Ŝ
no
ś
ci
ą
v
wzg
l
=
v
s
–
v
(10.1)
Je
Ŝ
eli w pewnym przedziale czasowym d
t
z rakiety wyrzucona zostaje masa d
m
s
z pr
ę
d-
ko
ś
ci
ą
v
0
to masa rakiety maleje o d
m
a jej pr
ę
dko
ść
ro
ś
nie o d
v
, przy czym
d
m
s
=
-
d
m
(10.2)
d
t
d
t
Obliczmy teraz całkowit
ą
szybko
ść
zmian p
ę
du
P
układu
d
P
=
d
p
rakiety
+
d
p
spalin
d
t
d
t
d
t
d
P
=
d(
m
v
)
+
v
d
m
s
d
t
d
t
s
d
t
d
P
=
m
d
v
+
v
d
m
+
v
d
m
s
(10.3)
d
t
d
t
d
t
s
d
t
Równanie to uwzgl
ę
dnia fakt,
Ŝ
e w przypadku rakiety zmienia si
ę
zarówno jej masa jak
i pr
ę
dko
ść
podczas gdy spaliny s
ą
wyrzucane ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
. Zmiana p
ę
du układu
jest zgodnie z II zasad
ą
dynamiki Newtona równa sile zewn
ę
trznej działaj
ą
cej na układ.
10-1
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c zale
Ŝ
no
ś
ci (10.1) i (10.2) mo
Ŝ
emy przekształci
ć
równanie (10.3) do po-
staci
F
=
d
p
=
m
d
v
+
v
d
m
s
(10.4)
zew
d
t
d
t
wzgl
d
t
Ostatni wyraz w równaniu (10.4) mo
Ŝ
e by
ć
interpretowany jako siła wywierana na układ
przez substancj
ę
(spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazw
ę
siły ci
ą
gu
.
Je
Ŝ
eli ruch rakiety odbywa si
ę
w przestrzeni kosmicznej to siły zewn
ę
trzne
F
zew
s
ą
do zaniedbania i wtedy zmiana p
ę
du rakiety jest równa sile ci
ą
gu. Je
Ŝ
eli jednak ruch
odbywa si
ę
w pobli
Ŝ
u Ziemi (np. tu
Ŝ
po starcie) to wówczas
F
zew
reprezentuje ci
ęŜ
ar
rakiety i sił
ę
oporu atmosfery i trzeba j
ą
uwzgl
ę
dni
ć
. Konstruktorzy rakiet staraj
ą
si
ę
uzyska
ć
jak najwi
ę
ksz
ą
sił
ę
ci
ą
gu aby przezwyci
ęŜ
y
ć
F
zew
. Np. rakieta Saturn 5 o masie
ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ci
ą
g 40 MN.
Obliczmy sił
ę
ci
ą
gu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa wa
Ŝ
y 5000
kg. Szybko
ść
spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a pr
ę
dko
ść
wyrzucania gazów wzgl
ę
dem
rakiety jest równa 1500 m/s.
F
=
v
d
M
wzgl
d
t
wi
ę
c
F = 1500·150 = 2.25·10
5
N
Zwró
ć
my uwag
ę
,
Ŝ
e pocz
ą
tkowo (rakieta z paliwem) siła działaj
ą
ca na rakiet
ę
skiero-
wana ku górze jest równa sile ci
ą
gu 2.25·10
5
N minus ci
ęŜ
ar rakiety (1.5·10
5
N). Po zu-
Ŝ
yciu paliwa wynosi 2.25·10
5
N - 0.5·10
5
N = 1.75·10
5
N.
10.2
Zderzenia
10.2.1
Wst
ę
p
Co rozumiemy poprzez zderzenie?
Siły działaj
ą
ce przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazy-
wamy
siłami impulsowymi
. Takie siły działaj
ą
w czasie zderze
ń
np. uderzenie piłki o
ś
cian
ę
czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie musz
ą
si
ę
"doty-
ka
ć
", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cz
ą
stki alfa (
4
He) z j
ą
drem jakiego
ś
pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym.
Pod zderzenia mo
Ŝ
emy podci
ą
gn
ąć
równie
Ŝ
reakcje
. Proton w trakcie zderzenia z j
ą
-
drem mo
Ŝ
e wnikn
ąć
do niego. Wreszcie mo
Ŝ
emy rozszerzy
ć
definicj
ę
zderze
ń
o rozpa-
dy cz
ą
stek np. cz
ą
stka sigma rozpada si
ę
na pion i neutron:
S
=
p
mo
Ŝ
na wyra
ź
nie rozró
Ŝ
ni
ć
czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
·
prawa zachowania p
ę
du i energii pozwalaj
ą
zdoby
ć
wiele informacji o procesach na
podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo,
Ŝ
e niewiele wie-
my o siłach "podczas" zderzenia.
10-2
-
+
n
.
Wszystkie te "zdarzenia" posiadaj
ą
cechy charakterystyczne dla zderze
ń
:
·
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
10.2.2
Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej
Wprawdzie cz
ę
sto nie znamy sił działaj
ą
cych podczas zderzenia ale wiemy,
Ŝ
e musi
by
ć
spełniona zasada zachowania p
ę
du (siły zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii
całkowitej. Wobec tego nawet
nie znaj
ą
c szczegółów oddziaływania mo
Ŝ
na
w wielu
przypadkach stosuj
ą
c te zasady
przewidzie
ć
wynik zderzenia
.
Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zacho-
wana podczas zderzenia czy te
Ŝ
nie. Je
Ŝ
eli tak to zderzenie nazywamy
spr
ęŜ
ystym
, je
Ŝ
eli
nie to
niespr
ęŜ
ystym
.
Jedyne prawdziwe zderzenia spr
ęŜ
yste (chocia
Ŝ
nie zawsze) to zderzenia mi
ę
dzy
atomami, j
ą
drami i cz
ą
steczkami elementarnymi. Zderzenia mi
ę
dzy ciałami s
ą
zawsze
w pewnym stopniu niespr
ęŜ
yste chocia
Ŝ
czasami mo
Ŝ
emy je traktowa
ć
w przybli
Ŝ
eniu
jako spr
ęŜ
yste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu ł
ą
cz
ą
si
ę
mówimy,
Ŝ
e zderzenie jest
cał-
kowicie niespr
ęŜ
yste
. Np. zderzenie mi
ę
dzy pociskiem i drewnianym klockiem gdy po-
cisk wbija si
ę
w klocek.
Rozpatrzmy teraz zderzenie spr
ęŜ
yste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobra
ź
my
sobie dwie gładkie nie wiruj
ą
ce kule, poruszaj
ą
ce si
ę
wzdłu
Ŝ
linii ł
ą
cz
ą
cej ich
ś
rodki.
Masy kul
m
1
i
m
2
, pr
ę
dko
ś
ci przed zderzeniem
v
1
i
v
2
a po zderzeniu
u
1
i
u
2
tak jak na
rysunku poni
Ŝ
ej.
m
1
v
1
m
2
v
2
m
1
u
1
m
2
u
2
Z zasady zachowania p
ę
du otrzymujemy
m
1
v
1
+
m
2
v
2
=
m
1
u
1
+
m
2
u
2
(10.5)
Poniewa
Ŝ
zderzenie jest spr
ęŜ
yste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z defi-
nicj
ą
). Otrzymujemy wi
ę
c
m
1
v
2
1
+
m
2
v
2
2
=
m
1
u
2
1
+
m
2
u
2
2
(10.6)
2
2
2
2
Przepisujemy równanie (10.5) w postaci
m
1
(
v
1
-
u
1
) =
m
2
(
u
2
-
v
1
)
(10.7)
a równanie (10.6) w postaci
m
1
(
v
2
1
-
u
2
1
)
=
m
2
(
u
2
2
-
v
2
2
)
(10.8)
10-3
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dziel
ą
c równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy zało
Ŝ
eniu
v
1
¹
u
1
i
v
2
¹
u
2
)
v
1
+
u
1
=
v
2
+
u
2
a po uporz
ą
dkowaniu
v
1
-
v
2
=
u
2
-
u
1
(10.9)
Równanie to mówi nam,
Ŝ
e w opisanym zderzeniu wzgl
ę
dna pr
ę
dko
ść
zbli
Ŝ
ania si
ę
cz
ą
-
stek przed zderzeniem jest równa wzgl
ę
dnej pr
ę
dko
ś
ci ich oddalania si
ę
po zderzeniu.
Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znale
źć
u
1
i
u
2
. Wy-
starcz
ą
wi
ę
c dowolne dwa. Bior
ą
c dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy
u
=
m
1
-
m
2
v
+
2
m
2
v
(10.10)
1
m
+
m
1
m
+
m
2
1
2
1
2
oraz
u
=
2
m
1
v
+
m
2
-
m
1
v
(10.11)
2
m
+
m
1
m
+
m
2
1
2
1
2
Rozpatrzmy kilka interesuj
ą
cych przypadków:
m
1
=
m
2
wtedy
u
1
=
v
2
oraz
u
2
=
v
1
czyli cz
ą
stki wymieniły si
ę
pr
ę
dko
ś
ciami.
v
2
= 0
wtedy
u
=
m
-
m
2
v
oraz
u
=
2
m
1
v
1
m
+
m
1
2
m
+
m
1
1
2
1
2
je
Ŝ
eli jeszcze dodatkowo
m
1
=
m
2
wtedy
u
1
= 0
oraz
u
2
=
v
1
(wymiana pr
ę
dko
ś
ci)
natomiast gdy m
2
>> m
1
to wtedy:
u
1
0
Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cz
ą
stki lekkiej z bardzo ci
ęŜ
k
ą
(spoczywaj
ą
-
c
ą
) np. piłka uderza o
ś
cian
ę
.
@
–
v
1
oraz
u
2
@
wreszcie sytuacja odwrotna
m
2
<<
m
1
.
Wtedy
2
v
1
.
Pr
ę
dko
ść
cz
ą
stki ci
ęŜ
kiej (padaj
ą
cej) prawie si
ę
nie zmienia.
Np. Neutrony w reaktorze musz
ą
by
ć
spowalniane aby podtrzyma
ć
proces rozszczepie-
nia. W tym celu zderzamy je z spr
ęŜ
y
ś
cie z j
ą
drami (spoczywaj
ą
cymi) spowalniacza.
Gdyby w spowalniaczu były ci
ęŜ
kie j
ą
dra to neutrony zderzaj
ą
c si
ę
"odbijałyby" si
ę
nie
u
1
@
v
1
oraz
u
2
@
10-4
·
·
1
·
·
·
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
trac
ą
c nic z pr
ę
dko
ś
ci. Gdyby natomiast spowalniaczem były cz
ą
stki lekkie np. elektro-
ny to neutrony poruszałyby si
ę
w
ś
ród nich praktycznie bez zmiany pr
ę
dko
ś
ci. Zatem
trzeba wybra
ć
moderator (spowalniacz) o masie j
ą
der porównywalnej z mas
ą
neutro-
nów.
Przy zderzeniach
niespr
ęŜ
ystych
energia kinetyczna nie jest zachowana.
Ró
Ŝ
nica pomi
ę
dzy energi
ą
kinetyczn
ą
pocz
ą
tkow
ą
i ko
ń
cow
ą
przechodzi np. w ciepło
lub energi
ę
potencjaln
ą
deformacji.
Przykład 1
Jak
ą
cz
ęść
swej energii kinetycznej traci neutron (m
1
) w zderzeniu centralnym z j
ą
drem
atomowym (m
2
) b
ę
d
ą
cym w spoczynku?
Pocz
ą
tkowa energia kinetyczna:
E
k
=
m
1
v
2
1
1
2
Ko
ń
cowa energia kinetyczna:
E
k
=
m
1
u
2
1
2
2
Wzgl
ę
dne zmniejszenie energii kinetycznej:
E
k
1
-
E
k
2
=
v
2
1
-
u
2
1
=
1
-
u
2
1
E
v
2
1
v
2
1
k
1
Poniewa
Ŝ
dla takiego zderzenia:
u
=
m
1
-
m
2
v
1
m
+
m
1
1
2
wi
ę
c
E
-
E
m
-
m
2
4
m
m
k
1
k
2
=
1
-
1
2
=
1
2
E
m
+
m
(
m
+
m
)
2
k
1
1
2
1
2
·
dla ołowiu
m
2
= 206
m
1
wi
ę
c
E
k
1
-
k
E
k
2
=
0
02
(
2
%)
E
1
·
dla w
ę
gla
m
2
= 12
m
1
wi
ę
c
E
k
1
-
k
E
k
2
=
0
(
28
%)
E
1
·
dla wodoru
m
2
=
m
1
wi
ę
c
E
k
1
-
k
E
k
2
=
1
(
100
%)
E
1
Wyniki te wyja
ś
niaj
ą
dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowal-
niaczem (a nie ołów).
Przykład 2
Wahadło balistyczne.
Słu
Ŝ
y do pomiaru pr
ę
dko
ś
ci pocisków. Składa si
ę
z bloku drewnianego o masie
M
, wi-
sz
ą
cego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie
m
, maj
ą
cy pr
ę
dko
ść
poziom
ą
v
,
wbija si
ę
w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwi
ą
cym w
nim pociskiem) wychyla si
ę
i podnosi na maksymaln
ą
wysoko
ść
h
.
Z zasady zachowania p
ę
du otrzymujemy
10-5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]