10-Zginanie, Wytrzymałość Materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
10 – Zginanie
10.1 Zginanie czyste i zginanie proste
Podstawą dla opisu zginania prętów będzie rozwiązanie następującego zagadnienia:
•
ELEMENT I MATERIAŁ:
▪
Dany jest nieważki, pryzmatyczny pręt prosty o długości
L
.
▪
Pręt wykonany jest z jednorodnego, izotropowego materiału liniowo
sprężystego (materiału Hooke'a).
•
OBCIĄŻENIE:
▪
Pręt obciążony jest na obydwu ściankach poprzecznych (w przekrojach
x
=
L
i
x
=0
) obciążeniem ciągłym liniowo zmiennym wzdłuż osi
z
lokalnego układu głównych centralnych osi bezwładności, normalnym
(prostopadłym) do tych ścianek, redukującym się do par leżących w
płaszczyźnie
(
xz
)
(zerowa suma układu oraz wektor momentu równoległy
do osi
y
).
-ścianka początkowa:
ν=[−1
;
0
;
0]
T
q
(0,
y,z
)=[−
qz ;
0
;
0]
T
-ścianka końcowa:
ν=[1
;
0
;
0]
T
q
(
L,y,z
)=[
qz ;
0
;
0]
T
▪
Pręt jest nieobciążony na swojej powierzchni bocznej.
ν=[0
;
ν
y
;
ν
z
]
T
q
=[0
;
0
;
0]
T
•
PODPARCIE:
▪
Środek ciężkości ścianki poprzecznej pręta w przekroju
x
=0
, tj. punkt
O
(0
;
0
;
0)
jest utwierdzony, tj. nie może doznać żadnych przemieszczeń i
żadnych obrotów.
-brak przemieszczenia:
u
(0,0,0)=[
u
x
; u
y
; u
z
]
T
=[0
;
0
;
0]
T
∂
y
∣
O
=0
∂
x
∣
O
=0
∂
x
∣
O
=0
∂
u
z
∂
u
z
∂
u
y
-brak obrotu wokół osi
x, y, z
:
▪
Pozostałe punkty przekroju
x
=0
podparte są w ten sposób, że nie mogą
doznawać przemieszczeń na kierunku osi pręta, ale mogą swobodnie
przemieszczać się w płaszczyźnie tego przekroju
u
x
(0,
y,z
)=0
© Copyright: Paweł Szeptyński - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL
1
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
10 – Zginanie
Zagadnienie powyższe nazywamy zagadnieniem
czystego
zginania
. Rozwiązanie tego
zagadnienia, na mocy zasady Saint-Venanta, będzie mogło również posłużyć do opisu
innych przypadków, w których obciążenie zewnętrzne redukuje się do dwóch par
zginających, przyłożonych do ścianek poprzecznych pręta.
Zadanie rozwiązuje się tzw.
metodą
półodwrotną, podejściem
statycznym
.
Rozwiązanie to ma następujący schemat:
1. Przypuścić rozkład naprężeń w pręcie, spełniający równania równowagi Naviera,
statyczne (obciążeniowe) warunki brzegowe i równoważny w każdym przekroju
układowi sił zewnętrznych przyłożonych do myślowo odciętej części ciała.
2. Dla założonych naprężeń wyznaczyć odkształcenia na podstawie równań
uogólnionego prawa Hooke'a.
3. Sprawdzić czy wyznaczone odkształcenia spełniają warunki nierozdzielności.
4. Dla obliczonych odkształceń wyznaczyć przemieszczenia na podstawie równań
geometrycznych Cauchy'ego.
5. Sprawdzić czy wyznaczone przemieszczenia spełniają kinematyczne (podporowe)
warunki brzegowe.
Jeżeli przypuszczone rozwiązanie spełniać będzie wszystkie równania i warunki, to –
ponieważ dowodzi się jednoznaczności rozwiązań zagadnień liniowej teorii sprężystości –
będzie ono właśnie tym jedynym, poszukiwanym rozwiązaniem.
1. Przypuszczenie rozkładu naprężeń
Uzasadnione wydaje się przypuszczenie, że ciągle rozłożone obciążenie liniowo zmienne,
będące w istocie gęstością sił na jednostkę powierzchni (o wymiarze Pa), powodować
będzie wewnątrz pręta analogiczny rozkład naprężeń normalnych na kierunku osi pręta.
Brak obciążenia poprzecznego i swoboda deformacji w kierunkach poprzecznych do osi
pręta sugeruje, że pozostałe składowe tensora naprężenia będą równe 0. Przyjmujemy
zatem:
[
]
=
[
qz
0
0 0
]
σ
xx
xy
xz
σ
yy
yz
σ =
sym
0
sym
σ
zz
Sprawdzić należy czy taki rozkład naprężeń spełnia statyczne (obciążeniowe) warunki
brzegowe
σ⋅ν =
q
.
Dla ścianek poprzecznych - początkowej (wzory ze znakiem „-”) i końcowej („+”):
•
wektor obciążenia
q
= [±
q ;
0
;
0]
T
•
normalna zewnętrzna
ν = [±1
;
0
;
0]
T
[
]
⋅
[
]
=
[
]
=
q
qz
0 0
0 0
±1
0
0
±
qz
0
0
σ⋅ν =
sym
0
© Copyright: Paweł Szeptyński - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL
2
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
10 – Zginanie
Dla pobocznicy:
•
wektor obciążenia
q
= [0
;
0
;
0]
T
•
normalna zewnętrzna
ν = [0
;
ν
y
;
ν
z
]
T
[
]
⋅
[
]
=
[
0
]
=
q
0
ν
y
ν
z
qz
0 0
0 0
σ⋅ν =
sym
0
Widać zatem, że założony rozkład naprężeń spełnia wszystkie statyczne warunki
brzegowe. Łatwo sprawdzić również, że spełnione są równania równowagi Naviera:
{
∂σ
xx
∂
x
+
∂σ
xy
∂
y
+
∂σ
xz
∂
z
= 0
∂σ
yx
∂
x
+
∂σ
yy
∂
y
+
∂σ
yz
∂
z
= 0
∂σ
zx
∂
x
+
∂σ
zy
∂
y
+
∂σ
zz
∂
z
= 0
Ponieważ naprężenia
σ
xx
,
xy
,
xz
opisane są tymi samymi funkcjami co składowe
obciążenia
q
x
,q
y
,q
z
, stąd oczywista jest równoważność układu sił przekrojowych w
dowolnym przekroju pręta z układem sił zewnętrznych przyłożonych do jego odciętej
części.
F
x
(
W
1
) =
∬
A
σ
xx
dA
=
∬
A
q
x
dA
=
F
x
(
Z
2
)
M
x
(
W
1
)=
∬
A
(
xz
y
−
xy
z
)
dA
=
∬
A
(
q
z
y
−
q
y
z
)
dA
=
M
x
(
Z
2
)
F
y
(
W
1
) =
∬
A
xy
dA
=
∬
A
q
y
dA
=
F
y
(
Z
2
)
M
y
(
W
1
) =
∬
A
σ
xx
zdA
=
∬
A
q
x
zdA
=
M
y
(
Z
2
)
F
z
(
W
1
) =
∬
A
xz
dA
=
∬
A
q
z
dA
=
F
z
(
Z
2
)
M
z
(
W
1
) =
∬
A
(−σ
xx
y
)
dA
=
∬
A
(−
q
x
y
)
dA
=
M
z
(
Z
2
)
Pokażemy, że dane obciążenie redukuje się do pary zginającej w płaszczyźnie
(
xz
)
:
F
x
=
∬
A
q
x
dA
=
∬
A
qzdA
=
q
∬
A
zdA
= 0
S
y
=0
F
y
=
∬
A
q
y
dA
=
∬
A
0
dA
= 0
F
z
=
∬
A
q
z
dA
=
∬
A
0
dA
=0
M
x
=
∬
A
(
q
z
y
−
q
y
z
)
dA
=
∬
A
0
dA
= 0
M
y
=
∬
A
q
x
zdA
=
∬
A
qz
2
dA
=
q
∬
A
z
2
dA
=
qI
y
⏟
I
y
M
z
=
∬
A
(−
q
x
y
)
dA
=−
∬
A
qz ydA
=
q
∬
A
z ydA
= 0
D
yz
=0
W powyższych obliczeniach skorzystaliśmy z faktu, że rozpatrywany układ współrzędnych
jest układem głównych centralnych osi bezwładności, w którym zarówno momenty
statyczne, jak i moment dewiacji są równe 0.
© Copyright: Paweł Szeptyński - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL
3
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
10 – Zginanie
2. Wyznaczenie odkształceń
Na podstawie równań fizycznych prawa Hooke'a wyznaczamy odkształcenia:
ε
yz
=
yz
ε
xx
=
1
E
[
(1+ν)σ
xx
−ν(σ
xx
+σ
yy
+σ
zz
)
]
2
G
ε
zx
=
zx
ε
yy
=
1
E
[
(1+ν)σ
yy
−ν(σ
xx
+σ
yy
+σ
zz
)
]
2
G
ε
xy
=
xy
2
G
ε
zz
=
1
E
[
(1+ν)σ
zz
−ν(σ
xx
+σ
yy
+σ
zz
)
]
ε
xx
=
q
E
z
ε
yy
=−
ν
q
E
⋅
z
ε
zz
=−
ν
q
E
⋅
z
ε
yz
= 0
ε
zx
= 0
ε
xy
= 0
3. Sprawdzenie warunków nierozdzielności
Warunki nierozdzielności:
∂
x
(
−
∂ε
yz
∂
z
)
=
∂
2
ε
xx
∂
2
ε
yy
∂
z
2
+
∂
2
ε
zz
∂
y
2
= 2
∂
2
ε
yz
∂
x
+
∂ε
zx
∂
y
+
∂ε
xy
∂
,
∂
y
∂
z
∂
y
∂
z
∂
y
(
∂ε
yz
∂
z
)
=
∂
2
ε
yy
∂
2
ε
zz
∂
x
2
+
∂
2
ε
xx
∂
z
2
= 2
∂
2
ε
zx
∂
x
−
∂ε
zx
∂
y
+
∂ε
xy
∂
,
∂
z
∂
x
∂
z
∂
x
∂
z
(
∂ε
yz
∂
z
)
=
∂
2
ε
xx
∂
y
2
+
∂
2
ε
yy
∂
x
2
= 2
∂
2
ε
xy
∂
2
ε
zz
∂
x
∂
y
∂
x
+
∂ε
zx
∂
y
−
∂ε
xy
∂
,
∂
x
∂
y
Ponieważ odkształcenia mają liniowy rozkład w przestrzeni, a w równaniach
nierozdzielności występują jedynie drugie pochodne odkształceń, stąd równania powyższe
spełnione są w sposób tożsamościowy.
4. Wyznaczenie przemieszczeń
Składowe wektora przemieszczenia są rozwiązanie układu równań geometrycznych
Cauchy'ego:
{
∂
u
x
∂
u
y
∂
u
z
∂
x
= ε
xx
∂
y
= ε
yy
∂
z
=ε
zz
2
(
∂
u
y
∂
y
)
= ε
yz
2
(
∂
u
z
∂
z
)
= ε
zx
2
(
∂
u
x
∂
x
)
=ε
xy
∂
z
+
∂
u
z
∂
x
+
∂
u
x
∂
y
+
∂
u
y
1
1
1
Rozwiązanie powyższego niejednorodnego układu liniowych, cząstkowych równań
różniczkowych pierwszego rzędu będzie sumą rozwiązania ogólnego układu jednorodnego
(z zerowymi prawymi stronami) oraz dowolnego szczególnego rozwiązania układu
niejednorodnego. Wyznaczymy je kolejno.
Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:
Rozwiązanie to jest najogólniejszym przemieszczeniem ciała nieodkształconego, tj. bryły
sztywnej – w ogólności jest to złożenie translacji i obrotu wokół chwilowego środka obrotu.
Funkcję tę wyznaczamy w identyczny sposób, jak w przypadku rozwiązania zagadnienia
czystego rozciągania:
© Copyright: Paweł Szeptyński - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL
4
mgr inż. Paweł Szeptyński –
Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych
10 – Zginanie
{
u
x,og
(
x,y,z
) =
a
−
d y
+
ez
u
y,og
(
x,y,z
)=
b
−
f z
+
d x
u
z,og
(
x,y,z
)=
c
−
ex
+
f y
Rozwiązanie szczególne układu niejednorodnego:
Poszukujemy ogólnego rozwiązania układu równań:
{
∂
u
x
∂
u
y
∂
u
z
∂
x
=
q
∂
y
=−
ν
q
∂
z
=−
ν
q
E
⋅
z
E
⋅
z
E
⋅
z
2
(
∂
u
y
∂
y
)
= 0
2
(
∂
u
z
∂
z
)
= 0
2
(
∂
u
x
∂
x
)
= 0
∂
z
+
∂
u
z
∂
x
+
∂
u
x
∂
y
+
∂
u
y
1
1
1
Rozwiązanie powyższego układu równań znaleźć całkując pierwsze trzy równania –
całkując pamiętać musimy, że w ogólności każda z poszukiwanych funkcji zależy od
wszystkich trzech zmiennych niezależnych. „Stała całkowania” jest może być zatem funkcją
zależną od wszystkich zmiennych niezależnych różnych od tej, względem której całkujemy:
u
x,sz
=
q
u
y,sz
=−
ν
q
u
z,sz
=−
ν
q
2
E
z
2
+ ϑ(
x,y
)
E
zx
+ φ(
y,z
)
E
zy
+ ψ(
z,x
)
Nieznane funkcje
φ
,
ψ
,
ϑ
wyznaczymy na podstawie pozostałych równań dla odkształceń
postaciowych:
E
y
+
∂ψ
E
x
+
∂φ
∂φ
∂
y
+
∂ψ
−
ν
q
∂
z
+
∂ϑ
q
∂
z
+
∂ϑ
∂
y
=0
∂
x
=0
∂
x
=0
Ponieważ rozwiązanie szczególne można przyjąć dowolnie, stąd można założyć:
φ(
y,z
) ≡ 0, ψ(
z,x
)≡ 0
Ostatnie równanie jest spełnione tożsamościowo. Z pozostałych dwóch możemy napisać:
∂ϑ
∂
y
=
ν
q
E
y
⇒ ϑ(
x,y
)=
ν
q
2
E
y
2
+ζ(
x
)
∂ϑ
∂
x
=−
q
∂ζ
∂
x
=−
q
E
x
⇒ ζ(
x
)=−
q
⇒ ϑ(
x
) =
q
2
E
(
ν
y
2
−
x
2
)
2
E
x
2
E
x
⇒
Stąd:
u
x,sz
=
q
u
y,sz
=−
ν
q
u
z,sz
=
q
2
E
(
ν
y
2
−ν
z
2
−
x
2
)
E
zx
E
zy
Rozkład przemieszczeń, będący rozwiązaniem niejednorodnego układu równań Cauchy'ego
jest zatem dany funkcjami:
{
u
x
=
u
x,og
+
u
x,sz
=
a
−
d y
+
ez
+
q
E
zx
u
y
=
u
y,og
+
u
y,sz
=
b
−
f z
+
d x
−
ν
q
E
zy
u
z
=
u
z,og
+
u
z ,sz
=
c
−
ex
+
f y
+
q
2
E
(
ν
y
2
−ν
z
2
−
x
2
)
© Copyright: Paweł Szeptyński - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]