108, STUDIA, sprawozdania, Fizyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia
Wiadomości teoretyczne:
Wiadomo, że gdy na podłużny pręt działa siła prostopadle do jego długości, doznaje on
ugięcia, a wielkość tzw. strzałki ugięcia S jest zawsze proporcjonalna do siły F, a także
zależy od wymiarów geometrycznych pręta, sposobu jego mocowania i rodzaju materiału, z
którego jest on wykonany. Pręt na rysunku pod działaniem siły ugina się w ten sposób, że
górne warstwy pręta są rozciągane a dolne ściskane. W środku wysokości istnieje warstwa,
której długość nie ulega zmianie. Przekroje prostopadłe pręta, przy braku obciążenia są
wzajemnie równoległe, tworzą natomiast kąt
j
po przyłożeniu siły.
Na rysunku obok zaznaczyłem rozpatrywane przekroje przez 1 i
2 oraz kąt
j
między 1 i 2 (1' jest równoległym przesunięciem
przekroju 1 do linii przecięcia warstwy neutralnej N z
przekrojem 2).
Jeśli zacznę rozpatrywać element pręta o długości
D
x
, grubości
D
y
i szerokości b znajdujący się w odległości x od krawędzi
zamocowanej i na wysokości y powyżej warstwy środkowej to
na skutek ugięcia belki badana warstwa ulega ugięciu o
j
y
.
Zgodnie z prawem Hooke'a wydłużenie jest proporcjonalne do
siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do
powierzchni przekroju
y
Fx
Eby
j =
×
× ×
D
D
gdzie E - moduł Younga,
F
n
- siła rozciągająca badaną warstwę
elementarną.
Taka sama siła, lecz przeciwnie skierowana, działa na warstwę elementarną położoną symetrycznie poniżej warstwy neutralnej N.
Moment siły
F
n
względem warstwy N wynosi
j
D
MyFE
x
yby
= × = ×
× × ×
2
D
n
D
Całkowity moment M sił działających na wszystkie warstwy zawarte między przekrojami 1 i 2 obliczam całkując powyższe równanie
względem y po całej grubości
j
D
+
h
2
+
h
2
M E
= ×
ò
y b dy
2
× ×
(1)
Jeśli oznaczę:
y b dy H
h
ò
2
× ×
=
(2)
x
h
-
-
2
2
j
D
to równanie (1) mogę napisać w postaci:
ME
x
H
= ×
×
(3)
Równanie to otrzymałem rozpatrując odkształcenie pręta, którego bezpośrednią przyczyną jest siła F przyłożona do jego końca.
Moment tej siły względem przekroju 2 wynosi
F l x x
(
(
)
)
lub zaniedbując wielkość
D
x
jako małą w porównaniu z x
= - ×
(4)
Kąt
j
jest zawarty między stycznymi do pręta w punktach, gdzie przekroje 1 i 2 przecinają górną powierzchnię. Na podstawie
rysunku mogę napisać następujący związek
( )
D
S
lx
j =
-
Wstawiając powyższe równanie do wzoru (3) i porównując wzory (3) i (4) otrzymuję elementarną strzałkę ugięcia
( )
D S
=
F
E H
l x
-
2
dx
×
F
E H
l
Całkowitą strzałkę ugięcia otrzymuję całkując powyższe równanie po całej długości pręta
S
=
ò
( )
l x
2
dx
×
0
Po scałkowaniu, wyrażenie na całkowitą strzałkę ugięcia przyjmuje postać:
S
F
=
EH
l
×
3
3
× ×
n
× - + D
M l x F
-
Wartość współczynnika H zależy od kształtu i rozmiarów geometrycznych pręta. Gdy przekrój jest prostokątem o wysokości h i
1
12
szerokości b, to całkowanie równania (2) prowadzi do wyniku:
H bh
prost
.
=
3
p
4
Całkowanie podobnego wyrażenia dla przekroju kołowego daje:
H r
kola
=
4
Podstawiając wartości współczynników H otrzymuję odpowiednio dla obu przekrojów strzałki ugięcia
l
S
prost
4
×
3
l
S
kola
3
4
×
3
F
h
=
=
F
.
E
×
b
×
3
p
×
E
×
r
4
Otrzymane powyżej wzory odnoszą się do pręta jednostronnie obciążonego i jednym końcem umocowanego. Równania te mogę
łatwo dostosować do sytuacji, gdy pręt jest swobodnie oparty dwoma końcami i obciążony w środku.
Zachowuje się on wtedy tak, jak gdyby był zamocowany w środku, a na jego końce działały siły
F
2
skierowane ku górze. Siła
F
2
działa wtedy na pręt o długości
l
2
.
Po uwzględnieniu tych warunków w poprzednich wzorach uzyskuję wzory na strzałki ugięcia prętów
dwustronnie podpartych
S
l
3
Ebh
F
S
l
'
=
prost
.
4
× × ×
3
3
'
=
Er
F
p
A z tych wzorów mogę już łatwo obliczyć moduł Younga. Po wykonaniu prostego przekształcenia mam moduł Younga dla przekroju
prostokątnego
E
l
kola
12
× ×
4
3
=
4
.
×
S bh
F
prost
'
× ×
3
i dla przekroju kołowego
E
l
3
=
12p
×
S r
F
kola
'
.
×
4
Przebieg ćwiczenia
1. Zmierzyć wymiary prętów.
2. Zmierzyć odległości między krawędziami podpierającymi i wyznaczyć środek pręta.
3. Wypoziomować katetometr i przy jego pomocy wyznaczyć położenie górnej krawędzi pręta nieobciążonego.
4. Obciążając kolejno środek pręta ciężarkami odczytywać położenie górnej krawędzi pręta.
Wyniki pomiaró
w:
S
kol
'
[
mm
]
S
kwad
m [kg]
'
[
mm
]
h
=
b
=
0
00792
m
612,31
612,81
0
2
r
=
0
00794
m
611,76
612,4
0,2
611,02
612,05
0,4
L
kwad
kol
=
L
=
l
=
0
756
m
610,9
611,9
0,5
D
L
=
D
l
=
0
001
m
610,26
611,4
0,7
D
h
=
D
b
=
D
r
=
D
S
=
0
00001
m
609,49
610,9
0,9
D
m
001
=
±
0
kg
609,06
610,58
1
608,2
610,15
1,2
607,34
609,56
1,4
607,06
609,05
1,5
606,49
608,53
1,7
605,37
608,18
1,9
Obliczenia:
1.Wyznaczenie modułu Younga E
l
3
a) dla pręta kołowego ze wzoru
F
r
E
kol
=
:
kol
12
p
×
S
×
4
Przykładowe obliczenia dla I strzałki ugięcia:
mm
S
kol
=
S
'
-
S
'
=
612
,
31
-
611
,
76
=
0
55
kol
kol
-
0
-
1
l
3
0
756
3
E
kol
=
×
1,962
=
1
6459
×
10
11
m
kol
-
1
12
p
×
S
×
r
4
12
p
×
0
00055
×
0
00397
4
-
1
é
2
N
kol
ù
é
2
N
ù
Błąd dla poszczególnych pomiarów obliczamy z różniczki logarytmicznej:
Nr
kol
E
ë
û
D
E
ë
û
m
m
æ
l
3
ö
( )
ln
E
kol
=
F
r
ln
ç
è
÷
ø
1 1,6459E+11 9,1196E+09
2 1,4035E+11 4,4978E+09
3 1,6050E+11 4,8518E+09
4 1,5455E+11 3,8992E+09
5 1,4445E+11 3,2137E+09
6 1,3927E+11 2,95220E+09
7 1,3215E+11 2,60916E+09
8 1,2750E+11 2,39475E+09
9 1,2932E+11 2,39504E+09
10 1,3221E+11 2,38884E+09
11 1,2391E+11 2,16261E+09
kol
12
p
×
S
×
4
D
r
E
=
E
ç
è
3
D
l
+
D
F
+
-
D
S
kol
+
-
4
D
r
÷
ø
kol
kol
l
F
S
kol
Przykładowe obliczenia dla I strzałki ugięcia:
æ
0
001
9,81
×
10
-3
2
×
10
-5
0,00001
ö
N
D
E
kol
=
1
6459
×
10
11
ç
3
+
+
-
+
-
4
÷
=
9
1196
×
10
9
0
756
1
962
0
55
×
10
-
3
0
00397
m
2
è
ø
Błąd całkowity obliczamy ze wzoru
D
d
=
3
s
+
D
E
s
=
4,1579
m
×
10
9
N
kol
2
N
D
E
kol
=
3,6804
m
×
10
9
2
N
D d
=
1,61540009
m
×
10
10
»
1
×
10
10
2
Zatem ostateczny wynik wynosi:
(
E
kol
=
E
±
D
d
=
1,40803
±
0
17
)
×
10
11
»
(
1
41
±
0
17
)
×
10
11
N
kol
m
2
b) Obliczenie strzałki ugięcia, siły, modułu Younga oraz ich błędów:
mm
=
S
'
-
S
'
=
612
,
81
-
612
,
4
=
0
41
kwad
kwad
-
0
-
1
D
S
kwad
=
D
S
'
+
D
S
'
=
0
00002
m
kwad
kwad
-
0
-
1
F
962
=
m
×
g
=
0
2
×
9
81
=
1
N
D
F
00981
=
D
m
×
g
=
0
001
×
9
81
=
0
N
L
E
kwad
3
0
756
3
=
×
F
=
×
1
962
=
(
31377
E
+
11
)
Pa
kwad
4
×
S
×
h
4
4
×
0
00041
×
0
00792
4
æ
ö
S
kwad
S
[m]
0
0,00041
0,00076
0,00091
0,00141
0,00191
0,00223
0,00266
0,00325
0,00376
0,00428
0,00463
kwad
F [N]
E
kwad
1,31377E+11
1,41749E+11
1,4798E+11
1,33707E+11
1,26906E+11
1,20773E+11
1,21499E+11
1,16016E+11
1,07443E+11
1,06974E+11
1
,1052
1E+11
]
[
Pa
]
0
1,962
3,924
4,905
6,867
8,829
9,81
11,772
13,734
14,715
16,677
18,639
E
kwad
1,24086E+11
[
Pa
D
8,250385667E+09
5,363010297E+09
4,882855391E+09
3,293422717E+09
2,614403927E+09
2,293156005E+09
2,110548513E+09
1,843135499E+09
1,612132666E+09
1,527579201E+09
1,
5323489
63E+09
]
E
kwad
[
Pa
]
Obliczenie błędu metodą różniczki logarytmicznej:
L
3
×
F
ln
E
=
ln
kwad
4
×
S
×
h
4
kwad
D
E
=
E
×
ç
è
3
×
D
L
+
D
F
+
-
4
×
D
h
+
-
D
S
kwad
÷
ø
kwad
kwad
L
F
h
S
kwad
D
E
=
1
31377
×
10
11
×
ç
è
3
×
0
001
+
0
00981
+
-
4
×
0
00001
+
-
0
00002
÷
ø
=
kwad
0
756
1
962
0
00792
0
00041
=
(
250385667
E
+
09
)
Pa
Błąd całkowity:
D
3,211179895E+09
E
kwad
[
Pa
D
E
kwad
E
=
(
×
s
+
D
E
)
=
3
×
4157851978
+
3
21117989
×
10
9
=
1
6154
×
10
10
»
1
×
10
10
Pa
kwad
E
kwad
=
E
±
D
E
=
(
1
24
±
0
17
)
Pa
×
10
11
kwad
kwad
2.Obliczenie modułu Younga z regresji liniowej (korzystamy z programu Szuby):
a)dla pręta kołowego:
a
kol
=
0,00037223
2
m
N
m
D
a
kol
=
9,16867 ×
10
6
N
l
3
l
3
0,756
3
kol
E
r
=
a
×
F
Þ
a
=
Þ
E
=
Þ
=
=
kol
12
p
E
r
4
kol
12
p
a
4
kol
12
×
3
14
0
000372232
×
0,00397
4
X
Y
kol
kol
æ
ö
æ
ö
-
S
×
=
1,23953
m
×
10
11
N
2
Błąd obliczamy z różniczki logarytmicznej:
( )
l
E
kol
æ
=
r
3
ö
æ
D
l
D
a
D
r
ö
ln
ln
ç
÷
Þ
D
E
=
E
ç
è
3
+
-
+
-
4
÷
ø
kol
12
p
ar
4
kol
l
a
è
ø
æ
0
001
9
16867
×
10
-
6
0,00001
ö
N
D
E
kol
=
1,23953
×
10
11
ç
3
+
-
+
-
4
÷
=
4,7939
×
10
9
»
4
×
10
9
Ostatecznie
0
756
0
000372232
0
00397
m
2
è
ø
otrzymujemy:
E
kol
=
E
±
D
E
=
(
23953
±
0
048
)
×
10
11
»
(
240
±
0
048
)
×
10
11
N
kol
kol
m
2
b)pręt o przekroju kwadratowym
L
3
X
a
kwad
F
h
=
4
×
E
×
4
Y
a
96m
=
0,00025878
7
m
b
=
-0,0002275
kwad
N
kwad
m
D
kwad
a
53m
=
0,00000775
895
D
kwad
b
=
0,00008481
N
L
E
kwad
3
0
756
3
=
h
=
=
1,06087
×
10
11
Pa
kwad
4
×
a
×
4
4
×
0
000258787
×
0
00792
4
Obliczenie błędu metodą różniczki logarytmicznej:
L
3
ln
E
=
ln
kwad
4
×
a
×
h
4
kwad
D
E
=
E
ç
è
3
×
D
L
+
-
D
a
kwad
+
-
4
×
D
h
÷
ø
=
1
06087
×
10
11
ç
è
3
×
0
001
+
-
0
0000848153
+
-
4
0
00001
÷
ø
=
kwad
L
a
h
0
756
0
000258787
0
00792
kwad
=
4,1374732
×
10
9
»
4,2
×
10
9
Pa
E
kwad
=
1
061
±
0
042
)
Pa
×
10
11
Wnioski:
Strzałka ugięcia jest funkcją liniową ciężaru przyłożonego do danego pręta. Z przeprowadzonych obliczeń można łatwo
zauważyć, iż błędy obliczone z regresji liniowej są małe. Metod ta nie uwzględnia błędu statystycznego, przez co jest ona mniej
dokładna. Niewielkie odchylenia od wartości nominalnych mogą być następstwem warunków panujących w sali w czasie przebiegu
ćwiczenia temperatura prętów zwiększała się nieznacznie od ciepła kaloryfera. Również na uzyskane pomiary mogły wpłynąć
nieznaczne wahania (drgania) zawieszonego obciążenia.
S
×
æ
ö
æ
ö
(
[ Pobierz całość w formacie PDF ]