10drganiaukładówciągłych, Semestr 4, Drgania
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->DRGANIA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW CIĄGŁYCHRzeczywiste układy mechaniczne składają się z członów, które posiadająciągły rozkład masy i sprężystości. Do badania ruchu drgającego takichukładów często wystarczająco wiernymi modelami są modele dyskretne.Jednak w wielu przypadkach rzeczywiste układy mechaniczne posiadajączłony, które mają stosunkowo dużą masę i sprężystość tak,żedyskretyzacjatych członów spowodowałaby znaczne błędy w obliczeniach. Istnieje więcpotrzeba budowy modeli, w których przynajmniej niektóre człony mają ciągłyrozkład masy i sprężystości.Ponieważ kształt elementu ciągłego komplikuje analizę dynamiczną drgań,to nasze rozważania ograniczymy do analizy elementów prostych, struny, prętai wału.Równanie swobodnych drgań poprzecznych strunyNa rysunku niżej pokazano model cienkiej struny, której masa isprężystość rozłożone są w sposób ciągły. Stałe napięcie T skierowane jestwzdłuż osi struny, by struna nie zwisała między nieruchomymi punktami A i B.Następnie strunę wychylamy w kierunku dodatniej osi y i puszczamyswobodnie. Działające siły sprężystości wywołane wydłużeniem struny i siłybezwładności masy struny nadają strunie drgania porzeczne - rysunek a). Dlaułożenia równań ruchu swobodnego struny współrzędną y należy traktowaćjako funkcję współrzędnej x i czasu t, czyliy=y(x, t ). Ciągłośćstrunypowoduje,że współrzędnych y jest nieskończenie wiele, co różni układy ciągłeod układów o skończonej liczbie stopni swobody.Do ułożenia równańruchu swobodnego struny, zakładamy: stałe napięciewstępne T struny. Małe drgania struny powoduje,że kąt jaki tworzy styczna do∂y(x, t)struny z osiąx można określićwzoremα(x,t)≅sin(α⋅t)≅tg(α⋅t)≅.∂xW rozważaniach pomijamy rozproszenie energii.Do napisania równania ruchu struny (równanie rzutów sił na kierunek osiy(x,t) posłużono się rysunkiem b) na którym pokazano wycięty element strunyo długości dx ograniczony przekrojami o współrzędnych x, x+dx. Stosującoznaczenia jak na rysunku mamy- T⋅sinα−p⋅dm+T⋅sin(α+dα)=gdzie:dm=ρFdx- masa wyciętegoelementu,ρ- gęstośćmateriału struny,F - przekrój struny,∂2yp=- przyspieszenie elementu,2∂t∂α(x, t)∂2 y(x, t)dα=- przyrost kąta pochylenia struny=2∂x∂xWstawiając powyższe zależności otrzymujemy∂y(x, t)∂2 y(x, t)∂y(x, t)∂2 y(x, t)dx+T−T−ρF+T=0.22∂x∂x∂t∂xPo redukcji wyrazów mamyρF∂2y∂t2−T∂2y∂x2=.Po przyjęciu oznaczeniaw postaciα2=sTρFotrzymujemy równanie ruchu struny2∂2y2∂y=0.−αs2∂t∂x 2Równanie swobodnych drgań podłużnych prętaRozważmy podłużne drgania swobodne pryzmatycznego pręta o ciągłymrozkładzie masy i sprężystości przy założeniach,że:- odkształcenia pręta są małe (liniowo sprężyste),- zachowana jest zasada płaskich przekrojów (płaszczyzny przekrojówpozostają płaskie)Dla przedstawienia warunku równowagi dynamicznej wyciętego elementudx długości pręta wprowadźmy oznaczenia:F – przekrój poprzeczny pręta,u=u(x, t)- przemieszczenie osiowe wyciętegoelementu dx długości pręta xo przekroju F,dm=ρFdx- masa wyciętego elementu,∂2u(x, t)p=- przyspieszenie liniowe wyciętego elementu w kierunku osiowym,2∂t∂uε=- wydłużenie jednostkowe pręta,∂xN=N(x, t) - siła podłużna działająca w dowolnym przekroju określonymwspółrzędną x.Na mocy prawa Hooke’a mamyN(x, t)=EFε=EFstąd∂2u(x, t)dN=EFdx ,2∂xgdzieE - moduł sprężystości podłużnej.∂u(x, t),∂xNa podstawie rysunku i wprowadzonych oznaczeń możemy napisaćrównanie∂u(x, t)∂2u(x, t)∂u(x, t)∂2u(x, t)dx+EFdx=0 .−EF+EF−ρF22∂x∂x∂x∂tPo redukcji wyrazów mamy∂2u∂2uEF−ρF=0.22dt∂x2 EJeżeli założymy,żeEF=const i oznaczymy ponadtoαp=, to otrzymamyρrównanie swobodnych drgańpręta w postaci2∂2u2∂u=0.−αp2∂t∂x 2Równanie swobodnych drgań skrętnych wałuDrgania skrętne jednorodnego wału o kołowym przekroju rozpatrzymy namodelu pokazanym na rysunku niżej. Oś x skierowana jest wzdłuż osi wału.Rozważania dotyczą jedynie ruchu obrotowego przekrojów poprzecznych wałudookoła ichśrodków.Drgania wału wywołujemy przyłożoną do dolnego,końcowego przekroju skręcającą parę sił jej nagłe usunięcie powoduje drganiaswobodne wału.Do ułożenia równania ruchu wprowadźmy oznaczenia:ϕ = ϕ(x, t)- kątskręcenia wału,dm=ρFdx- masa wyciętego małego elementu,1dI=r 2Fρdx - masowy moment bezwładności wyciętego elementu wału2ośrednicy d = 2r,∂2ϕ(x, t)ε=- przyspieszenie kątowe wyciętego elementu wału,2∂tεdI- moment sił bezwładności elementu wału względem osi geometrycznejwału pokrywającą się z osią obrotu wału,M=M(x, t) - moment skręcający w dowolnym przekroju wału określonymwspółrzędną x.Teoria skręcania wałów podaje,żemoment skręcający działający nawarstwę walca o długości dx wynosiM=GI∂ϕ.∂xgdzie:G - moduł odkształcenia postaciowego (moduł Kirchhoffa),I0 - biegunowy moment bezwładności przekroju wału,∂ϕ- kąt odkształcenia postaciowego.∂x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]