10Rachunek prawdo odp 1273138408, matematyka, zadania i rozw
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RACHUNEKPRAWDOPODOBIE
‹
STWA
IELEMENTYSTATYSTYKI
POZIOMPODSTAWOWY
Zadaniaotwartekr
ó
tkiejodpowiedzi:
Zad.1
Wpewnejklasieprawdopodobie«stwootrzymaniaocenyconajmniejdostatecznejzesprawdzianuwynosi 0;7.Praw-
dopodobie«stwootrzymaniaocenyconajwy»ejdostatecznejjestr
ó
wne 0;8.Obliczprawdopodobie«stwouzyskania
dok“adnieocenydostatecznej.
Rozwi¡zanie:
A-zdarzeniepolegaj¡cenaotrzymaniuocenyconajmniejdostatecznej
P(A) = 0;7
B-zdarzeniepolegaj¡cenaotrzymaniuocenyconajwy»ejdostatecznej
P(B) = 0;8
A[B-zdarzeniepolegaj¡cenaotrzymaniujakiejkolwiekoceny
P(A[B) = 1
A\B-zdarzeniepolegaj¡cenaotrzymaniuocenydostatecznej
P(A[B) =P(A) +P(B) P(A\B)
1 = 0;7 + 0;8 P(A\B)
P(A\B) = 1;5 1
P(A\B) = 0;5
Odp.Prawdopodobie«stwootrzymaniadok“adnieocenydostatecznejwynosi 0;5:
Zad.2
Zezbioruliczbf1;2;3;4;5;6;7;8;9;10gwybieramylosowojedn¡liczbƒ.Obliczprawdopodobie«stwowylosowania
liczbypierwszej.
Rozwi¡zanie:
A-zdarzeniepolegaj¡cenawylosowaniuliczbypierwszej
= f1;2;3;4;5;6;7;8;9;10g
jj = 10
A= f2;3;5;7g
jAj = 4
P(A) =
jAj
jj
P(A) =
4
10
Odp.Prawdopodobie«stwowylosowanialiczbypierwszejwynosi 0;4:
Zad.3
Ucze«otrzyma“8ocen: 4; 2; 5; 1; 3;x; 4; 1;kt
ó
rych–redniaarytmetycznawynosi 3.Obliczximedianƒtych
o–miuocen.
R
ozwi¡zanie:
x
-–redniaocenucznia
x= 3
n-liczbaocenucznia
n= 8
1
x
n
-n-taocenauczniawci¡guocenustawionychrosn¡co
m
e
-mediana8ocen
m
e
=
x
4
+x
5
2
4+2+5+1+3+x+4+1
8
3 =
20+x
8
24 = 20 +x
x= 4
Ustawiamyocenywkolejno–ciodnajni»szejdonajwy»szej:
1;1;2;3;4;4;4;5
x
4
= 3
x
5
= 4
m
e
=
3+4
2
= 3;5
Odp.x= 4;natomiastmedianatychocento3;5:
Zad.4
Wsklepikuszkolnymustawi“asiƒkolejka5ch“opc
ó
wi3dziewczynek.Ilejestwszystkichmo»liwychustawie«dzieci
wtejkolejce,je–liwszystkiedziewczynkistoj¡przedch“opcami?
Rozwi¡zanie:
jj-liczbawszystkichmo»liwychustawie«dzieciwkolejce,przyza“o»eniu»enajpierwstoj¡wszystkiedziewczynki,
anastƒpniech“opcy
3!-liczbawszystkichmo»liwychustawie«3dziewczynek
3! = 1 2 3 = 6
5!-liczbawszystkichmo»liwychustawie«5ch“opc
ó
w
5! = 1 2 3 4 5 = 120
jj = 3! 5!
jj = 6 120 = 720
Odp.Wszystkichmo»liwychustawie«dzieciwtejkolejceprzyza“o»eniu,»ewszystkiedziewczynkistoj¡przed
ch“opcami,jestr
ó
wna720.
Zadaniaotwarterozszerzonejodpowiedzi:
Zad.5
Danes¡dwapojemniki.Wpierwszymznichznajdujesiƒ 10kul: 6bia“ych, 3czarnei 1zielona.Wdrugim
pojemnikujest8kul: 1bia“a, 4czarnei 3zielone.Zka»degopojemnikalosujemypojednejkuli.Obliczpraw-
dopodobie«stwowylosowaniadw
ó
chkulr
ó
»negokoloru.
Rozwi¡zanie:
A-zdarzeniepolegaj¡cenawylosowaniudw
ó
chkulr
ó
»negokoloru
wprowadzoneoznaczenia:
B-wylosowaniekulibia“ej
C-wylosowaniekuliczarnej
Z-wylosowaniekulizielonej
2
x
= 3
x=
-zbi
ó
rwszystkichmo»liwychwynik
ó
wlosowaniadw
ó
chkul,pojednejzka»degopojemnika
P() =
10
8
+
10
8
+
10
8
+
6
1
0
8
+
10
8
+
3
1
0
8
+
10
8
+
1
1
0
8
+
10
8
1
=
8
0
+
2
80
+
1
80
+
80
+
1
8
0
+
80
+
80
+
80
+
3
80
=
80
80
= 1
10
8
10
8
10
8
10
8
3
10
8
10
8
24
80
18
80
3
80
9
80
1
80
4
80
59
80
P(A) =
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
Odp.Prawdopodobie«stwowylosowaniadw
ó
chkulr
ó
»negokoloruwynosi
5
80
:
Zad.6
Zpojemnika,wkt
ó
ryms¡czterylosywygrywaj¡ceipiƒ¢pustych,losujemydwarazypojednymlosiebezzwracania.
Obliczprawdopodobie«stwo,»eotrzymamyconajmniejjedenloswygrywaj¡cy.Wynikprzedstawwpostaciu“amka
nieskracalnego.
Rozwi¡zanie:
A-zdarzeniepolegaj¡cenawylosowaniuconajmniejjednegolosuwygrywaj¡cego
wprowadzoneoznaczenia:
W-wyci¡gniƒcielosuwyrywaj¡cego
P-wyci¡gniƒcielosuprzegrywaj¡cego
-zbi
ó
rwszystkichmo»liwychwynik
ó
wlosowaniabezzwracaniadw
ó
chlos
ó
w
P() =
9
8
+
9
8
+
9
8
+
9
8
=
12
72
+
20
72
+
20
72
+
20
72
=
72
72
= 1
9
8
9
8
9
8
12
72
20
72
20
72
52
72
13
18
P(A) =
+
+
=
+
+
=
=
Odp.Prawdopodobie«stwowylosowaniaprzynajmniejjednegolosuwygrywaj¡cegowynosi
1
18
:
Zad.7
Wpewnymliceum35%wszystkichuczni
ó
wtopierwszoklasi–ci,40%uczni
ó
wuczƒszczadoklasdrugich,resztƒ
stanowi¡uczniowieklasmaturalnych.
5
pierwszoklasist
ó
wtoch“opcy,w–r
ó
ddrugoklasist
ó
wdziewczynystanowi¡
a»75%;natomiastwklasachmaturalnychjesttylesamodziewcz¡tcoch“opc
ó
w.Obliczprawdopodobie«stwo,»e
losowowybranaosobajestdziewczyn¡.
Rozwi¡zanie:
A-zdarzeniepolegaj¡cenalosowymwybraniudziewczyny
wprowadzoneoznaczenia:
Ikl.-wybraniepierwszoklasisty
IIkl.-wybraniedrugoklasisty
IIIkl.-wybraniematurzysty
Dz-wybranaosobajestdziewczyn¡
Ch-wybranaosobajestch“opcem
3
6
6
3
3
1
6
3
9
1
4
6
6
3
1
1
4
4
5
5
4
4
5
-zbi
ó
rwszystkichmo»liwychwynik
ó
wlosowaniajednejosobyspo–r
ó
duczni
ó
wpewnegoliceum
P() =
100
5
+
100
5
+
100
4
+
100
4
+
100
2
+
25
100
2
=
105
500
+
500
+
120
400
+
40
400
+
25
200
+
25
200
=
500
+
160
400
+
50
200
=
35
100
+
40
100
+
25
100
=
100
100
= 1
P(A) =
100
5
+
100
4
+
100
2
=
21
100
+
3
10
+
1
8
=
42
200
+
60
200
+
25
200
=
127
200
Odp.Prawdpodobie«stwowybraniadziewczynywynosi
127
200
:
Zad.8
Ta
belazawierawynikipisemnegosprawdzianuzmatematy
kiwpewnejklasie:
Oceny cel bdbdbdstdopndst
Liczbauczni
ó
w 1 2 7 8 4 3
Obliczprawdopodobie«stwo,»elosowowybranyucze«tejklasyotrzyma“ocenƒwy»sz¡odmedianywynik
ó
w.
Rozwi¡zanie:
-zbi
ó
rwszystkichuczni
ó
w,kt
ó
rymprzyporz¡dkowanocyfryodpowiadaj¡ceocenomjakiedanyucze«otrzyma“z
pisemnegosprawdzianu
= f6;5;5;4;4;4;4;4;4;4;3;3;3;3;3;3;3;3;2;2;2;2;1;1;1g
jj = 25
m
e
mediana25wynik
ó
w(trzynastywynik)
m
e
= 3
A-zdarzeniepolegaj¡cenawybraniuuczniazocen¡wy»sz¡odmedianywynik
ó
w(znumeremwy»szymod3)
A= f6;5;5;4;4;4;4;4;4;4g
jAj = 10
P(A) =
jAj
jj
P(A) =
10
25
= 0;4
Odp.Prawdopodobie«stwowybraniauczniazocen¡wy»sz¡odmedianywynik
ó
wwynosi 0;4:
POZIOMROZSZERZONY
Zad.9
Zpewnejgrupyos
ó
b,wkt
ó
rejjesttrzyrazywiƒcejkobietni»mƒ»czyzn,wybranolosowodwuosobow¡delegacjƒ.
Obliczilujestmƒ»czyzn,ailekobietwtejgrupie,je–liprawdopodobie«stwowylosowaniasamychmƒ»czyznjest
r
ó
wne0;05.
Rozwi¡zanie:
Za“o»enia:
n-liczbamƒ»czyznwpewnejgrupie
3n-liczbakobietwpewnejgrupie
n 2;n2
N
4
35
35
40
40
25
70
175
35
40
25
A-zdarzeniepolegaj¡cenawybraniudwuosobowejmƒskiejdelegacji
jj-liczbawszystkichmo»liwychdelegacjidwuosobowychstworzonychzos
ó
bnale»¡cychdopewnejgrupy
4n
2
jj =
jAj-liczbawszystkichmo»liwychdelegacjidwuosobowychstworzonychzmƒ»czyznnale»¡cychdopewnejgrupy
n
2
jAj =
P(A) =
jAj
jj
P(A) = 0;05
jj =
4n
2
jj =
(4n)!
2!(4n2)!
jj =
(4n2)!(4n1)4n
2(4n2)!
jj = 2n(4n 1)
n
2
jAj =
jAj =
n!
2!(n2)!
jAj =
(n2)!(n1)n
2(n2)!
jAj =
(n1)n
2
P(A) =
jAj
jj
P(A) = 0;05
(
n
1)
n
2
2n(4n1)
= 0;05
4(4n1)
=
20
20 (n 1) = 4 (4n 1)
5 (n 1) = 4n 1
5n 5 = 4n 1
5n 4n= 1 + 5
n= 4
3n= 12
Odp.Wtejgrupieznajdujesiƒ4mƒ»czyzni12kobiet.
;
H= (4;2)wybrano3punkty.Obliczprawdopodobiestwo,»ew–r
ó
dwylosowanychpunkt
ó
wdok“adniedwanale»¡
dowykresufunkcji:y=log
2
x:
2;
2
Rozwi¡zanie:
A-zdarzeniepolegaj¡cenawylosowaniudok“adnie2punkt
ó
wnale»¡cychdowykresufunkcjiy=log
2
x
Sprawdzamy,kt
ó
rezpunkt
ó
wnale»¡dowykresufunkcji:
5
(n1)
Zad.10
Spo–r
ó
dpunkt
ó
wA= (1;1);B= (1;2);C=
2
;1
;D= (2;1);E= (1;0);F= (3;8);G=
p
[ Pobierz całość w formacie PDF ]