10s1Mw3, AON, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W.3. Przestrze« liniowa (wektorowa)
R
n
.
Układy równa« liniowych
Przestrzeni¡ wektorow¡ b¦dziemy nazywa¢ zbiór
X
z
dwoma działaniami - dodawaniem i mno»eniem przez licz-
b¦ (przez skalar). Np.:
R
n
=
RR:::R
(
n
razy), gdzie
dla
x;y 2 R
n
oraz
2 R
x
+
y
=
2
4
x
1
x
.
x
n
3
5
+
2
4
y
1
y
.
y
n
3
5
=
2
4
.
x
n
+
y
n
3
5
;
2
x
1
x
.
x
n
3
2
x
1
x
2
.
x
n
3
x
=
4
5
=
4
5
Wektor 0 = [0
;:::;
0]
T
nazywamy wektorem zerowym (ze-
rem) przestrzeni
R
n
:
Elementem przeciwnym do
x 2 R
n
jest wektor
x
a
yx
=
y
+ (
x
)
:
Uwaga
. Mo»emy równie» mówi¢:
x
= (
x
1
;x
2
;:::;x
n
) jest
punktem przestrzeni
R
n
:
Wtedy, wektor
x
nale»y rozu-
mie¢ jako
wektor wolny
. "Rysujemy" go tak, »e jego po-
cz¡tkiem jest punkt 0 = (0
;
0
;:::;
0) a ko«cem punkt (
x
1
;x
2
;:::;x
n
)
:
Dokładniej, je±li jego pocz¡tkiem jest punkt (
b
1
;b
2
;:::;b
n
)
to ko«cem punkt (
b
1
+
x
1
;b
2
+
x
2
;:::;b
n
+
x
n
)
:
Norm¡ (długo±ci¡) wektora
x
= [
x
1
;:::;x
n
]
T
(lub
x
=
(
x
1
;:::;x
n
)) nazywamy liczb¦
t
X
r
kxk
=
(
x
i
)
2
=
(
x
1
)
2
+
:::
+ (
x
n
)
2
:
i
=1
1
x
1
+
y
1
x
2
+
y
2
Dla wektorów
x
1
;:::;x
k
2 R
n
oraz liczb
1
;:::;
k
2 R;
wektor
i
=1
i
x
i
=
1
x
1
+
:::
+
k
x
k
nazywamy
kombinacj¡ liniow¡.
Mówimy
równie», »e tak utworzony wektor
z
jest
liniowo zale»ny
od wektorów
x
1
;:::;x
k
.
Wektory
x
1
;:::;x
k
s¡
liniowo niezale»ne
:
z
=
X
i
=1
i
x
i
= 0
,
1
= 0
;:::;
k
= 0
:
Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów
x
1
;:::;x
k
X
L
(
x
1
;:::;x
k
) =
fz
=
X
t
i
x
i
j t
1
;:::;t
k
2 Rg
i
=1
jest
podprzestrzeni¡ liniow¡
przestrzeni
R
n
generowan¡
przez te wektory. Je±li dodatkowo wektory
x
1
;:::;x
k
s¡
liniowo niezale»ne, to
L
(
x
1
;:::;x
k
) jest podprzestrzeni¡
wymiaru
k
a wektory
x
1
;:::;x
k
s¡ jej
baz¡
.
Np. w
R
3
wektory
i
1
=
2
4
1
0
0
3
5
; i
2
=
2
4
0
1
0
3
5
; i
3
=
2
4
0
0
1
3
5
s¡ liniowo niezale»ne, generuj¡ cał¡
przestrze«
R
3
=
L
(
i
1
;i
2
;i
3
)
oraz stanowi¡ jej baz¦.
2
z
=
Inn¡ baz¦ tworzy np.: trójka wektorów
[1
;
0
;
0]
T
;
[1
;
1
;
0]
T
;
[1
;
1
;
1]
T
:
Podprzestrzenie 1-wymiarowe
L
(
i
1
)
; L
(
i
2
)
i
L
(
i
3
) to l
inie proste
przecinaj¡ce si¦ w
punkcie 0 = (0
;
0
;
0)
:
Mówimy, »e tworz¡
układ współrz¦dnych w
R
3
:
Zbiór
L
(
i
1
;i
2
) jest podprzestrzeni¡ wy-
miaru 2 (płaszczyzn¡) w przestrzeni
R
3
.
Przykład
. Dla dowolnego wektora
a
= (
a
1
;:::;a
n
)
2 R
n
podprzestrze«
L
(
a
) =
fx 2 R
n
j x
=
ta; t 2 Rg
jest prost¡ (przechodz¡c¡ przez
a
i 0 - po-
cz¡tek układu). Przesuni¦cie równoległe
tej prostej o wektor
b
jest prost¡ (rozma-
ito±ci¡ liniow¡)
b
+
L
(
a
) =
fx 2 R
n
j x
=
b
+
ta;t 2 Rg:
Równanie parametryczne tej prostej:
8
<
x
1
=
b
1
+
ta
1
:::
t 2 R:
:
x
n
=
b
n
+
ta
n
3
q
= (
q
1
;:::;q
n
)
2 R
n
podprzestrze«
L
(
p;q
) =
fx 2 R
n
jx
=
tp
+
uq; t 2 R; u 2 Rg
jest płaszczyzn¡ (przechodz¡c¡ przez
p;q
i pocz¡tek układu 0). Przesuni¦cie rów-
noległe tej płaszczyzny o wektor
b
jest
płszczyzn¡ (rozmaito±ci¡ liniow¡)
b
+
L
(
p;q
) =
fx 2 R
n
j x
=
b
+
tp
+
uq;t;u 2 Rg:
Równanie parametryczne tej płaszczyzny:
8
<
x
1
=
b
1
+
tp
1
+
uq
1
:::
t;u 2 R:
:
x
n
=
b
n
+
tp
n
+
uq
n
Zadanie.
Dane s¡ dwa wektory
a
= [1
;
2]
T
i
b
= [4
;
4]
T
.
a) Narysuj te wektory oraz wektor
a b:
Wyznacz i
opisz podprzestrzenie
L
(
a;b
) i
L
(
ba
)
:
b) Zapisz równanie parametryczne prostej przechodz¡-
cej przez punkty
A
= (1
;
2) i
B
= (4
;
4).
4
Przykład *
. Dla dowolnej pary wekto-
rów niezale»nych
p
= (
p
1
;:::;p
n
)
2 R
n
i
7b.
Równania macierzowe
.
Korzystaj¡c z własno±ci działa« na ma-
cierzach, mo»emy rozwi¡zywa¢ równania
macierzowe, tzn. poszukiwa¢ macierzy, któ-
ra spełnia jak¡± równo±¢ macierzow¡
Przykład 1.
Wyznacz macierz
X;
która spełnia równa-
nie 3
A
+ 2
X
=
B
(oczywi±cie wymiary macierzy s¡ takie
by działania były wykonalne).
Mamu tutaj 2
X
=
B
3
A
i st¡d
X
=
1
Przykład 3.
Układ
n
równa« liniowych z
m
niewiado-
mymi
x
1
;x
2
;:::;x
m
;
tzn.
8
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
:::
+
a
1
m
x
m
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
:::
+
a
2
m
x
m
=
b
2
:::
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
:::
+
a
nm
x
m
=
b
n
:
:
mo»emy zapisa¢ jako równanie macierzowe (wektorowe)
Ax
=
b
z niewiadom¡ - wektorem
2
x
1
x
3
2
a
11
a
12
::: a
1
m
a
21
a
22
::: a
2
m
3
2
b
1
b
3
x
=
4
.
x
m
5
oraz
A
=
4
.
a
n
1
a
n
2
::: a
nm
5
; b
=
4
.
b
n
5
:
Macierz
A
jest nazywana macierz¡ układu równa«
a wektor
b
nazywamy wektorem wyrazów wolnych.
5
2
(
B
3
A
)
:
Przykład 2.
Wyznacz macierz
X;
która spełnia równa-
nie
AX
=
B:
Je±li istnieje macierz
A
1
;
to
A
1
AX
=
A
1
B
i st¡d
X
=
A
1
B:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]