10s1Mw5, AON, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W5. Ci¡gi liczbowe
Ci¡g liczbowy
= Dowolna funk-
cja przypisuj¡ca liczbom natural-
nym liczby rzeczywiste (
n ! a
n
).
B¦dziemy mówi¢
:
-
n
-ty wyraz ci¡gu (
a
n
) = (
a
1
;a
2
;:::
)
(lub wyraz o numerze
n
)
.
czonego), np. (2
;
5
;
5
2
;
3
;
6
;
3
;
21
;
p
5)
(czyli:
a
1
= 2 ,
a
2
= 5 ,
:::;a
8
=
p
5
).
2. Przez podanie
wzoru na
n
ty wyraz
,
np.
a
n
=
n
2
6
w tym przypadku
(
a
n
) = (
5
;
2
;
3
;
10
;:::
)
;
np.:
a
12
= 138
3. Przez
wzór rekurencyjny
, np.
b
1
= 1
; b
n
+1
=
nb
n
wzór:
b
n
=
n
!
Sposoby okre±lania
ci¡gów
1. Przez
wypisanie
pocz¡tkowych
wyrazów
(wszystkich tylko dla ci¡
g
u sko«-
Wykres ci¡gu;
Własno±ci ci¡gu: - ograniczono±¢,
monotoniczno±¢.
Zadanie 1
. Wyznacz i umie±¢ na
wykresach kilka pocz¡tkowych wy-
razów ci¡gów:
a
n
= 3+
2
d
1
=
d
2
= 1
; d
n
+1
=
d
n
+
d
n
1
dla
n
= 2
;
3
;:::
,
(ci¡g Fibonacciego)
.
Które z nich s¡
ograniczone? monotoniczne?
2
n
; b
n
=
n
+(
1)
n
; c
n
=
n
2
4
oraz ci¡gu
2. CIGI MONOTONICZNE
Ci¡g (
a
n
) jest:
rosn¡cy
je»eli ka»dy jego wyraz
jest wi¦kszy od poprzedniego,
^
n
a
n
> a
n
1
np.
a
n
=
n
,
b
n
=
n
2
6 ;
nierosn¡cy
je»eli »aden jego wyraz nie jest
wi¦kszy od poprzedniego,
^
n
a
n
a
n
1
np.
a
n
=
n
,
b
n
= 10
b
2
c
(
bxc
-cało±¢ z
x
);
malej¡cy
je»eli ka»dy jego wy-
raz jest mniejszy od poprzednie-
go,
^
np.
a
n
=
n
,
b
n
=
n
2
;
niemalej¡cy
je»eli »aden jego wyraz nie jest
mniejszy od poprzedniego,
^
np.
a
n
=
b
p
nc
,
b
n
= 2
n
+ (
1)
n
;
n
a
n
a
n
1
stały
je»eli wszystkie wyrazy s¡ jednakowe.
3
1
n
a
n
< a
n
1
3. CIGI OGRANICZONE
Ci¡g (
a
n
) jest:
ograniczony z dołu
je»eli istnie-
je liczba
m 2 R
(ograniczenie dol-
ne)
mniejsza od ka»dego wyrazu
ci¡gu, np:
a
n
=
n
,
b
n
=
n
2
56 ,
c
n
=
n
;
ograniczony z góry
je»eli istnie-
je liczba
M 2 R
(ograniczenie górne)
wi¦ksza od ka»dego wyrazu ci¡-
gu, np:
a
n
=
n
,
b
n
=
n
+2
n
;
ograniczony
je»eli jest ograni-
czony z góry i z dołu
np.
b
n
=
n
+2
,
c
n
= (
1)
n
;
nie
ograniczony je»eli nie jest ograniczony
(z góry lub z dołu) np.
a
n
=
n
,
b
n
=
p
n
.
4
n
Wa»ne ci¡gi:
Ci¡g arytmetyczny
:
a
n
=
a
0
+
nr
(
r
-
ró»nica
ci¡gu arytm.)
Np. (
5
;
2
;
1
;
4
;
7
;:::
) lub (21
;
16
;
11
;
6
;
1
;
4
;
9
;:::
)
Ci¡g geometryczny
:
b
n
=
b
0
q
n
(
q
-
iloraz
ci¡gu geom. – dowolna
liczba ró»na od 0 i 1).
Np. (1
;
2
;
4
;
8
;
16
;
32
:::
) lub (18
;
6
;
2
;
3
;
9
;
27
;:::
)
.
Wzór na sum¦ ci¡gu arytmetycznego:
X
a
n
=
ma
1
+
r
m
(
m
1)
:
n
=1
2
Wzór na sum¦ ci¡gu geometrycznego:
X
b
n
=
b
1
1
q
m
1
q
;
X
b
n
=
1
q
dla
jqj <
1
:
b
1
n
=1
n
=1
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]