10s1Mw6, AON, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W5.(doko«czenie).CI
�
G
Š
O
‘‚
De
nicja
:Funkcja
f
jest
ci¡g“awpunkcie
x
0
je»elijestwnim
okre–lonailim
x!x
0
f
(
x
)=
f
(
x
0
),
ci¡g“awzbiorzeA
gdyjestci¡g“awka»dympunk-
cie
x
0
2A
.
Wszystkiefunkcje:
•
potƒgowe(
f
(
x
)=
x
k
)
•
wielo-
miany
•
wymierne(ilorazywielo-
mian
ó
w)
•
wyk“adnicze(
f
(
x
)=
a
x
)
•
lo-
garytmiczne(log
a
x
)
•
trygonome-
trycznes¡ci¡g“ewka»dympunk-
cieswegozbioruokre–lono–ci
a
wiƒcobliczanieichgranicwtych
punktachczƒstojest“atwe.
Punktynieci¡g“o–cifunkcji
naj-
czƒ–ciejtakiewkt
ó
rychnieistnieje
granica:
np.funkcja
f
(
x
)=
bxc
(ca“o–¢z
x
)jestnieci¡g“a
wka»dympunkcie
x
0
2Z
(wliczbachca“kowi-
tych),aci¡g“awka»dyminnym.
1.
TwierdzenieWeierstrassa
Je»elifunkcja
f
jestci¡g“awprze-
dzialedomkniƒtym[
a,b
],toosi¡-
gawnimminimumimaximum
tzn.istniej¡takie
x
m
,x
M
2
[
a,b
]»e
dlaka»dego
x2
[
a,b
]
x2
[
a,b
]
f
(
x
)=
f
(
x
m
)
·f
(
x
)
·f
(
x
M
)=max
x2
[
a,b
]
f
(
x
)
.
2.
W“asno–¢Darboux
Je»elifunkcja
f
jestci¡g“awprze-
dziale[
a,b
],todlaka»dego
y2
[
f
(
a
)
,f
(
b
)]istniejetakie
x2
[
a,b
]
,
»e
f
(
x
)=
y
.
min
3.Problemoptymalizacjiwarunkowej
-znalezienienajmniejszejlubnajwiƒkszejwar-
to–cifunkcji
f
dla
x2
[
a,b
](tzn.nadanymprzedziale).
Zadanie.Dlafunkcji
f
(
x
)=
x
2
−
4
x
+10znale„¢
najmniejsz¡inajwiƒksz¡warto–¢naprzedziale
[1
,
4]
.
Dlajakichargument
ó
ws¡osi¡gniƒte?
Charakterystykamonotoniczno–cifunkcji
f
na
ca“ejdziedzinie:
x−1<x<
2
<x<
+
1
f
(
x
)+
1&
6
%
+
1
anaprzedziale[1
,
4]:
x
1
<x<
2
<x<
4
f
(
x
)7
&
6
%
10
Odczytujemyodpowied„-najmniejsz¡warto–ci¡
jest6anajwiƒksz¡10
,
tzn.
min
x2
[1
,
4]
f
(
x
)=6=
f
(2)osi¡gniƒtedlax=2
,
x2
[1
,
4]
f
(
x
)=10=
f
(4)osi¡gniƒtedla
x
=4.
max
W6.Pochodnafunkcji
Ilorazr
ó
»nicowy
funkcji
f
wpunk-
cie
x
0
dlaprzyrostu¢
x
=
h
:
¢
f
f
(
x
0
+
h
)
−f
(
x
0
)
h
granicailoraz
ó
wr
ó
»nicowych
f
w
x
0
przyprzy-
rostachd¡»¡cychdozera,
lim
¢
x!
0
¢
f
¢
x
(idlategobywate»oznaczana
d
f
d
x
).
Uwaga
:istnieje
tylkowtedy
gdy
f
jestci¡g“awpunkcie
x
0
¢
x
=
f
(
x
0
+
h
)
−f
(
x
0
)
h
.
Pochodnafunkcji
f
wpunkcie
x
0
:
f
0
(
x
0
)=lim
h!
0
Przyk“ady
:
h
=5.
iog
ó
lniedladowolnego
x
0
otrzymujemy
5
·
(3+
h
)
−
5
·
3
f
0
(
x
0
)=lim
h!
0
5(
x
0
+
h
)
−
5
·x
0
h
=5
.
h
=8.
iog
ó
lniedladowolnego
x
0
otrzymujemy
(4+
h
)
2
−
4
2
h!
0
f
0
(
x
0
)=lim
h
=lim
2
x
0
h
+
h
2
h
=2
x
0
.
h!
0
h!
0
POCHODNAJAKOFUNKCJA:
Poniewa»
f
0
(
x
)woczywistyspos
ó
b
zale»yod
x
,
f
0
jest
funkcj¡
zmien-
nej
x
(jednoznaczniewyznaczon¡
przez
f
).
np.gdy
f
(
x
)=5
x
,
f
0
(
x
)=5
(funkcjasta“a),
gdy
f
(
x
)=
x
2
,
f
0
(
x
)=lim
h!
0
(
x
+
h
)
2
−x
2
h
=2
x
.
1.
f
(
x
)=5
x
,
x
0
=3:
f
0
(3)=lim
h!
0
2.
f
(
x
)=
x
2
,
x
0
=4:
f
0
(4)=lim
(
x
0
+
h
)
2
−x
2
0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]